Konvergenz in Wkeit < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 21:06 Fr 02.10.2009 | | Autor: | Fry |
| Aufgabe | Sei [mm] (X_n)n [/mm] eine Folge stochastisch unabhängige, identisch verteilter Zufallsgrö0en mit [mm] EX_1=0 [/mm] und Var [mm] X_1<\infty. [/mm] Zeigen Sie,:
[mm] \bruch{1}{\wurzel(n)}\sum_{i=1}^{n}X_i [/mm] in Wkeit konvergiert gdw. [mm] P(X_1=0)=1. [/mm] |
Hallo zusammen,
also falls [mm] Var(X_1)>0 [/mm] könnte man den zentralen Grenzwertsatz anwenden, aber für die Rückrichtung soll Var [mm] X_1=0 [/mm] sein, also funktioniert das nicht. Unser Prof. hat gesagt, dass man dafür Kolmogorov bzw. Folgerungen über terminale Funktionen benutzen muss. Müsste wohl der folgender Satz sein:
Sei [mm] X_n [/mm] unabhängige Folge von Zufallsvariablen mit terminaler [mm] $\sigma$-Algebra $T_{\infty}$. [/mm] Dann ist jede [mm] $T_{\infty}$-messbare [/mm] Zufallsgröße P-fast sicher konstant.
Und außerdem soll bei einer der Richtungen folgendes benutzen:
[mm] \bruch{S_n}{\wurzel(n)}\to [/mm] Z P-stochastisch
=> [mm] \bruch{S_n_k}{\wurzel(n_k)}\to [/mm] Z P-fast sicher
Könnte jemand versuchen, ein bisschen Ordnung in das Chaos zu bringen und mir weiterzuhelfen? Wäre toll.
Viele Grüße
Christian
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:27 Fr 02.10.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo Christian!
> Sei [mm](X_n)n[/mm] eine Folge stochastisch unabhängige, identisch
> verteilter Zufallsgrö0en mit [mm]EX_1=0[/mm] und Var [mm]X_1<\infty.[/mm]
> Zeigen Sie,:
> [mm]\bruch{1}{\wurzel(n)}\sum_{i=1}^{n}X_i[/mm] in Wkeit
> konvergiert gdw. [mm]P(X_1=0)=1.[/mm]
Die Rueckrichtung ist einfach: gilt [mm] $P(X_1 [/mm] = 0) = 1$, so auch [mm] $P(\sum_{i=1}^n X_i [/mm] = 0) = 1$ (warum?) und damit [mm] $P(\frac{1}{\sqrt{n}} \sum_{i=1}^n X_i [/mm] = 0) = 1$. Damit konvergiert das offensichtlich (warum?) in Wahrscheinlichkeit, naemlich gegen [mm] $X_1$ [/mm] (oder [mm] $X_2$ [/mm] oder [mm] $X_3$ [/mm] oder ...).
Es bleibt also nur noch die Hinrichtung: die Folge ist stochastisch konvergent, und du musst zeigen dass [mm] $P(X_1 [/mm] = 0) = 1$ ist.
> also falls [mm]Var(X_1)>0[/mm] könnte man den zentralen
> Grenzwertsatz anwenden, aber für die Rückrichtung soll
> Var [mm]X_1=0[/mm] sein, also funktioniert das nicht.
Bei der Hinrichtung ist dann auch $Var [mm] X_1 [/mm] = 0$, da es ja eine Aequivalenz ist.
> Unser Prof.
> hat gesagt, dass man dafür Kolmogorov bzw. Folgerungen
> über terminale Funktionen benutzen muss. Müsste wohl der
> folgender Satz sein:
> Sei [mm]X_n[/mm] unabhängige Folge von Zufallsvariablen mit
> terminaler [mm]\sigma[/mm]-Algebra [mm]T_{\infty}[/mm]. Dann ist jede
> [mm]T_{\infty}[/mm]-messbare Zufallsgröße P-fast sicher konstant.
>
> Und außerdem soll bei einer der Richtungen folgendes
> benutzen:
> [mm]\bruch{S_n}{\wurzel(n)}\to[/mm] Z P-stochastisch
> => [mm]\bruch{S_n_k}{\wurzel(n_k)}\to[/mm] Z P-fast sicher
Nach dem zweiten Ergebnis bekommst du eine Teilfolge, die $P$-fast sicher konvergiert.
Jetzt koennte es gut sein, dass die Folgenglieder [mm] $\frac{1}{\sqrt{n}} \sum_{i=1}^n X_i$ [/mm] ebenfalls wieder eine stochastisch unabhaengige Familie liefern (da bin ich mir nicht 100%ig sicher, das musst du nachpruefen).
Also hast du eine Familie von unabhaengigen ZVen, die $P$-fast sicher konvergiert.
Eventuell kannst du irgendwie zeigen, dass [mm] $X_1$ $T_\infty$-messbar [/mm] ist: daraus und aus [mm] $E(X_1) [/mm] = 0$ folgt dann [mm] $P(X_1 [/mm] = 0) = 1$.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:53 So 04.10.2009 | | Autor: | Fry |
Hey Felix,
wieder mal herzlichen Dank für deine erhellenden Antworten !
> Die Rueckrichtung ist einfach: gilt [mm]P(X_1 = 0) = 1[/mm], so auch
> [mm]P(\sum_{i=1}^n X_i = 0) = 1[/mm] (warum?)
Die [mm] X_i [/mm] können nur gleich 0 werden.
> [mm]P(\frac{1}{\sqrt{n}} \sum_{i=1}^n X_i = 0) = 1[/mm]. Damit
> konvergiert das offensichtlich (warum?) in
> Wahrscheinlichkeit, naemlich gegen [mm]X_1[/mm] (oder [mm]X_2[/mm] oder [mm]X_3[/mm]
Das liegt daran, dass die [mm] $X_i\equiv [/mm] 0$ identisch verteilt sind und der Bruchterm auch gegen 0 konvergiert
> Es bleibt also nur noch die Hinrichtung: die Folge ist
> stochastisch konvergent, und du musst zeigen dass [mm]P(X_1 = 0) = 1[/mm]
> ist.
>
> > also falls [mm]Var(X_1)>0[/mm] könnte man den zentralen
> > Grenzwertsatz anwenden, aber für die Rückrichtung soll
> > Var [mm]X_1=0[/mm] sein, also funktioniert das nicht.
>
> Bei der Hinrichtung ist dann auch [mm]Var X_1 = 0[/mm], da es ja
> eine Aequivalenz ist.
>
> > Unser Prof.
> > hat gesagt, dass man dafür Kolmogorov bzw. Folgerungen
> > über terminale Funktionen benutzen muss. Müsste wohl der
> > folgender Satz sein:
> > Sei [mm]X_n[/mm] unabhängige Folge von Zufallsvariablen mit
> > terminaler [mm]\sigma[/mm]-Algebra [mm]T_{\infty}[/mm]. Dann ist jede
> > [mm]T_{\infty}[/mm]-messbare Zufallsgröße P-fast sicher konstant.
> >
> > Und außerdem soll bei einer der Richtungen folgendes
> > benutzen:
> > [mm]\bruch{S_n}{\wurzel(n)}\to[/mm] Z P-stochastisch
> > => [mm]\bruch{S_n_k}{\wurzel(n_k)}\to[/mm] Z P-fast sicher
>
> Nach dem zweiten Ergebnis bekommst du eine Teilfolge, die
> [mm]P[/mm]-fast sicher konvergiert.
>
> Jetzt koennte es gut sein, dass die Folgenglieder
> [mm]\frac{1}{\sqrt{n}} \sum_{i=1}^n X_i[/mm] ebenfalls wieder eine
> stochastisch unabhaengige Familie liefern (da bin ich mir
> nicht 100%ig sicher, das musst du nachpruefen).
>
> Also hast du eine Familie von unabhaengigen ZVen, die
> [mm]P[/mm]-fast sicher konvergiert.
>
> Eventuell kannst du irgendwie zeigen, dass [mm]X_1[/mm]
> [mm]T_\infty[/mm]-messbar ist: daraus und aus [mm]E(X_1) = 0[/mm] folgt dann
> [mm]P(X_1 = 0) = 1[/mm].
Okidoki, werde mal versuchen, das zu überprüfen.
LG
Christian
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:11 So 04.10.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo Christian!
> > Die Rueckrichtung ist einfach: gilt [mm]P(X_1 = 0) = 1[/mm], so auch
> > [mm]P(\sum_{i=1}^n X_i = 0) = 1[/mm] (warum?)
>
> Die [mm]X_i[/mm] können nur gleich 0 werden.
Das stimmt nicht: sie koennen sehr wohl andere Werte annehmen. Allerdings nur mit Wahrscheinlichkeit 0.
Wenn [mm] $\sum_{i=1}^n X_i \neq [/mm] 0$ ist, muss mindestens eines der [mm] $X_i \neq [/mm] 0$ sein: also ist [mm] $P(\sum_{i=1}^n X_i \neq [/mm] 0) [mm] \le \sum_{i=1}^n P(X_i \neq [/mm] 0)$.
> > [mm]P(\frac{1}{\sqrt{n}} \sum_{i=1}^n X_i = 0) = 1[/mm]. Damit
> > konvergiert das offensichtlich (warum?) in
> > Wahrscheinlichkeit, naemlich gegen [mm]X_1[/mm] (oder [mm]X_2[/mm] oder [mm]X_3[/mm]
>
> Das liegt daran, dass die [mm]X_i\equiv 0[/mm] identisch verteilt
> sind und der Bruchterm auch gegen 0 konvergiert
Welcher Bruchterm? Prinzipiell stimmt das aber schon: es gilt wieder [mm] $P(\frac{1}{\sqrt{n}} \sum_{i=1}^n X_i [/mm] - [mm] X_1 [/mm] = 0) = 1$, und wenn man das in die Definition von Konvergenz in W'keit einsetzt, sieht man sofort dass es gegen [mm] $X_1$ [/mm] konvergiert.
> > Nach dem zweiten Ergebnis bekommst du eine Teilfolge, die
> > [mm]P[/mm]-fast sicher konvergiert.
> >
> > Jetzt koennte es gut sein, dass die Folgenglieder
> > [mm]\frac{1}{\sqrt{n}} \sum_{i=1}^n X_i[/mm] ebenfalls wieder eine
> > stochastisch unabhaengige Familie liefern (da bin ich mir
> > nicht 100%ig sicher, das musst du nachpruefen).
> >
> > Also hast du eine Familie von unabhaengigen ZVen, die
> > [mm]P[/mm]-fast sicher konvergiert.
> >
> > Eventuell kannst du irgendwie zeigen, dass [mm]X_1[/mm]
> > [mm]T_\infty[/mm]-messbar ist: daraus und aus [mm]E(X_1) = 0[/mm] folgt dann
> > [mm]P(X_1 = 0) = 1[/mm].
>
> Okidoki, werde mal versuchen, das zu überprüfen.
Wie schon gesagt, keine Ahnung ob man wirklich so vorgehen kann, dazu kenn ich mich zuwenig damit aus. Aber vielleicht hilft es ja weiter...
LG Felix
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:20 Sa 10.10.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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