Konvergenz in L_1 < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:42 So 12.07.2009 | | Autor: | Fry |
| Aufgabe | Sei [mm] (f_n)_n [/mm] Folge messbarer und integrierbarer Funktionen, (1) die [mm] \mu-fast [/mm] überall punktweise gegen eine integrierbare Funktion f konvergiert. Es gelte außerdem:
(2) [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\integral_{}^{}f_n d\mu=\integral f_d\mu.
[/mm]
[mm] ZZ:\limes_{n\rightarrow\infty}\integral|f_n-f|d\mu=0 [/mm] |
Hallo,
habe mich an obiger Aufgabe versucht. Aber allerdings die Behauptung gezeigt ohne (2) zu nutzen. Hier ist mal meine Lösung:
1.Fall [mm] f_n,f\ge0
[/mm]
[mm] \integral|f_n-f|d\mu=\integral(f_n-f)*1_{\{f_n>f\}}d\mu [/mm] + [mm] \integral(f-f_n)*1_{\{f\ge f_n\}}d\mu.
[/mm]
Wegen (1) konvergieren beide Integrale gegen 0 und damit folgt die Behauptung.
2.Fall [mm] f_n,f [/mm] allgemein
[mm] f_n=f^+_n-f^-_n, f=f^{+}-f^-
[/mm]
[mm] |f_n-f|=|f^+_n-f^-_n-f^{+}+f^-|\le|f^{+}_n-f^{+}|+|f^-_n-f^-|
[/mm]
Dann integrieren und den 1.Fall auf die beiden letzten Integrale anwenden. Die Voraussetzungen sind erfüllt, da sie für [mm] f_n [/mm] und f schon gelten [mm] \Rightarrow [/mm] Behauptung.
Wo steckt der Fehler ?
LG
Christian
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 06:43 Mo 13.07.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Sei [mm](f_n)_n[/mm] Folge messbarer und integrierbarer Funktionen,
> (1) die [mm]\mu-fast[/mm] überall punktweise gegen eine
> integrierbare Funktion f konvergiert. Es gelte außerdem:
> (2) [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\integral_{}^{}f_n d\mu=\integral f_d\mu.[/mm]
>
> [mm]ZZ:\limes_{n\rightarrow\infty}\integral|f_n-f|d\mu=0[/mm]
>
> Hallo,
>
> habe mich an obiger Aufgabe versucht. Aber allerdings die
> Behauptung gezeigt ohne (2) zu nutzen.
Das ist in der Tat verwunderlich.
> Hier ist mal meine Lösung:
>
> 1.Fall [mm]f_n,f\ge0[/mm]
>
> [mm]\integral|f_n-f|d\mu=\integral(f_n-f)*1_{\{f_n>f\}}d\mu[/mm] +
> [mm]\integral(f-f_n)*1_{\{f\ge f_n\}}d\mu.[/mm]
> Wegen (1)
> konvergieren beide Integrale gegen 0 und damit folgt die
> Behauptung.
Erstens: vorausgesetzt dem Fall, dass dies stimmt, wieso setzt du [mm] $f_n, [/mm] f [mm] \ge [/mm] 0$ voraus?
Zweitens: wieso konvergieren die Integrale gegen 0? Mir faellt gerade kein guter Grund ein, warum dies der Fall sein sollte.
Ich vermute mal, der Fehler steckt hier.
> 2.Fall [mm]f_n,f[/mm] allgemein
> [mm]f_n=f^+_n-f^-_n, f=f^{+}-f^-[/mm]
>
> [mm]|f_n-f|=|f^+_n-f^-_n-f^{+}+f^-|\le|f^{+}_n-f^{+}|+|f^-_n-f^-|[/mm]
> Dann integrieren und den 1.Fall auf die beiden letzten
> Integrale anwenden. Die Voraussetzungen sind erfüllt, da
> sie für [mm]f_n[/mm] und f schon gelten [mm]\Rightarrow[/mm] Behauptung.
Wenn [mm] $f_n^+$ [/mm] und [mm] $f_n^-$ [/mm] jeweils [mm] $f_n^+(x) f_n^-(x) [/mm] = 0$ fuer alle $x$ erfuellen, dann ist das ok. Ansonsten kann es sein, dass die Voraussetzungen gar nicht erfuellt sind.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 06:58 Mo 13.07.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> > Sei [mm](f_n)_n[/mm] Folge messbarer und integrierbarer Funktionen,
> > (1) die [mm]\mu-fast[/mm] überall punktweise gegen eine
> > integrierbare Funktion f konvergiert. Es gelte außerdem:
> > (2) [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\integral_{}^{}f_n d\mu=\integral f_d\mu.[/mm]
> >
> > [mm]ZZ:\limes_{n\rightarrow\infty}\integral|f_n-f|d\mu=0[/mm]
Eine Anmerkung: ich bin mir ziemlich sicher dass diese Aufgabe schonmal hier behandelt wurde.
Nach etwas Suchen: hier.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:34 Mi 15.07.2009 | | Autor: | Fry |
Hallo Felix,
danke für deine Hilfe !
Gruß
Christian
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