Konvergenz im Komplexen < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:47 Mi 01.12.2010 | | Autor: | julig86 |
| Aufgabe | Aufgabe 7.1
1. Man bestimme alle z [mm] \in \IC, [/mm] für welche die Potenzreihe [mm] \summe_{i=1}^{\infty} \bruch{z^n}{n} [/mm] konvergiert.
Hinweis: Man betrachte für [mm] \|z| [/mm] = 1 den Term [mm] (1-z)\summe_{i=1}^{N} \bruch{z^n}{n}.
[/mm]
2. Man bestimme alle z [mm] \in \IC, [/mm] für welche die Potenzreihe [mm] \summe_{i=1}^{\infty} \bruch{z^7n}{n} [/mm] konvergiert. |
Hey,
also... zuersteinmal kenne ich mich mit komplexen Zahlen nicht so gut aus. Ich weiss wohl, dass es Real- und Imaginäranteile gibt und die gängigen Rechenregeln kenne ich auch. Das Problem liegt eher darin, dass ich Schwierigkeiten habe, mir vorzustellen von welchen Zahlen wir hier reden.
Mein erster Ansatz war, mal aufzudröseln in [mm] \bruch{1}{n}*z^n [/mm] . Da hätten wir dann einmal die harmonische Reihe und eine geometrische Reihe, von denen wir über die Konvergenz/Divergenz bescheid wissen. Dann habe ich den Tipp gelesen demzufolge für den Betrag von z der Faktor (1-z) 0 wäre... Ergebnis: Ich habe keine Ahnung wie ich weiter vorgehen soll. Aufgabenteil 2 hängt von 1 ab, daher wäre es super, wenn ihr mir weiterhelfen könntet.
LG
Julian
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:58 Mi 01.12.2010 | | Autor: | abakus |
> Aufgabe 7.1
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> 1. Man bestimme alle z [mm]\in \IC,[/mm] für welche die Potenzreihe
> [mm]\summe_{i=1}^{\infty} \bruch{z^n}{n}[/mm] konvergiert.
> Hinweis: Man betrachte für [mm]\|z|[/mm] = 1 den Term
> [mm](1-z)\summe_{i=1}^{N} \bruch{z^n}{n}.[/mm]
>
> 2. Man bestimme alle z [mm]\in \IC,[/mm] für welche die
> Potenzreihe [mm]\summe_{i=1}^{\infty} \bruch{z^7n}{n}[/mm]
> konvergiert.
> Hey,
>
> also... zuersteinmal kenne ich mich mit komplexen Zahlen
> nicht so gut aus. Ich weiss wohl, dass es Real- und
> Imaginäranteile gibt und die gängigen Rechenregeln kenne
> ich auch. Das Problem liegt eher darin, dass ich
> Schwierigkeiten habe, mir vorzustellen von welchen Zahlen
> wir hier reden.
>
Hallo, das Ganze kann nur konvergieren, wenn die Beträge der Potenzen nicht aus dem Ruder laufen. Für |z|>1 divergiert die ganze Sache, und für
|x|<1 konvergiert sie. Interessant wird der Fall |z|=1. Darauf zielt sicher der Hinweis in der Aufgabenstellung.
Gruß Abakus
> Mein erster Ansatz war, mal aufzudröseln in
> [mm]\bruch{1}{n}*z^n[/mm] . Da hätten wir dann einmal die
> harmonische Reihe und eine geometrische Reihe, von denen
> wir über die Konvergenz/Divergenz bescheid wissen. Dann
> habe ich den Tipp gelesen demzufolge für den Betrag von z
> der Faktor (1-z) 0 wäre... Ergebnis: Ich habe keine Ahnung
> wie ich weiter vorgehen soll. Aufgabenteil 2 hängt von 1
> ab, daher wäre es super, wenn ihr mir weiterhelfen
> könntet.
>
> LG
> Julian
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> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:02 Mi 01.12.2010 | | Autor: | julig86 |
Ah, und wie bist du jetzt darauf gekommen? Mich würde zum Beispiel interessieren, wieso ich den Faktor (1-z) einfach aus der Summe rausziehen darf und dann statt der Summe bis unendlich ein anderes Intervall betrachte.
Wäre super wenn du deine Überlegungen mitposten könntest !
LG
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:06 Mi 01.12.2010 | | Autor: | abakus |
> Ah, und wie bist du jetzt darauf gekommen? Mich würde zum
> Beispiel interessieren, wieso ich den Faktor (1-z) einfach
> aus der Summe rausziehen darf
Das hat nimand behauptet. Du sollst die Summe mit diesem Faktor multiplizieren.
Tu es einfach und schau, was rauskommt.
Gruß Abakus
> und dann statt der Summe bis
> unendlich ein anderes Intervall betrachte.
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> Wäre super wenn du deine Überlegungen mitposten könntest
> !
>
> LG
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