Konvergenz fast überall < Maßtheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:33 Di 01.04.2014 | | Autor: | Herbart |
Hallo,
eine kurze generelle Definitionsfrage. Wenn in einer Aufgabe [mm] $f_n\to [/mm] f$ [mm] \mu [/mm] - fast-überall zu zeigen ist, ist dann damit gleichmäßige oder punktweise konvergenz gemeint? Wie bestimme ich das?
Ich würde wie folgt vorgehen:
Sei [mm] f_n:\Omega\supseteq A\to \IR [/mm] Funktionenfolge und [mm] f:\Omega\supseteq A\to \IR [/mm] Funktion.
gleichmäßig konvergent [mm] \mu-fast-ueberall \gdw \mu(\Omega\setminus\{x:\limes_{n\rightarrow\infty}sup\{|f_n(x)-f(x)|:x\in A\}=0\})=0
[/mm]
punktweise konvergent [mm] \mu-fast-ueberall \gdw \mu(\Omega\setminus\{x:\limes_{n\rightarrow\infty}f_n(x)=f(x)\})
[/mm]
Oder wäre das falsch?
MfG Herbart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:06 Di 01.04.2014 | | Autor: | Herbart |
Es soll $ [mm] f_n:\Omega\to \IR [/mm] $ und $ [mm] f:\Omega\to \IR [/mm] $ heißen.
MfG Herbart
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:53 Di 01.04.2014 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Herbart!
> eine kurze generelle Definitionsfrage. Wenn in einer
> Aufgabe [mm]f_n\to f[/mm] [mm]\mu[/mm] - fast-überall zu zeigen ist, ist
> dann damit gleichmäßige oder punktweise konvergenz
> gemeint?
Damit ist eine Abschwächung der punktweisen Konvergenz gemeint.
Seien [mm] $(\Omega,\mathcal{A},\mu)$ [/mm] ein Maßraum und [mm] $f_n\colon\Omega\to\IR$ [/mm] sowie [mm] $f\colon\Omega\to\IR$.
[/mm]
[mm] "$f_n\to [/mm] f$ [mm] $\mu$-fast-überall" [/mm] bedeutet dann per Definitionem, dass es eine [mm] $\mu$-Nullmenge [/mm] $N$ gibt mit [mm] $\lim_{n\to\infty}f_n(x)=f(x)$ [/mm] für alle [mm] $x\in N^c$.
[/mm]
Falls zusätzlich alle [mm] $f_n$ [/mm] und $f$ messbar sind (bezüglich [mm] $\mathcal{A}$ [/mm] und der Borelschen Sigma-Algebra auf [mm] $\IR$), [/mm] gilt
[mm] $M:=\{x\in\Omega\;|\;(f_n(x))_{n\in\IN}\text{ nicht konvergent gegen }f(x)\}\in\mathcal{A}$
[/mm]
und die Folge der [mm] $f_n$ [/mm] konvergiert genau dann [mm] $\mu$-fast-überall [/mm] gegen $f$, wenn [mm] $\mu(M)=0$ [/mm] gilt.
> Ich würde wie folgt vorgehen:
> Sei [mm]f_n:\Omega\supseteq A\to \IR[/mm] Funktionenfolge und
> [mm]f:\Omega\supseteq A\to \IR[/mm] Funktion.
> gleichmäßig konvergent [mm]\mu-fast-ueberall \gdw \mu(\Omega\setminus\{x:\limes_{n\rightarrow\infty}sup\{|f_n(x)-f(x)|:x\in A\}=0\})=0[/mm]
Du verwendest $x$ in zweierlei Bedeutung gleichzeitig. Das ist nicht sinnvoll.
> punktweise konvergent [mm]\mu-fast-ueberall \gdw \mu(\Omega\setminus\{x:\limes_{n\rightarrow\infty}f_n(x)=f(x)\})[/mm]
=0 meinst du sicherlich.
Falls [mm] $\{x\in\Omega:\limes_{n\rightarrow\infty}f_n(x)=f(x)\}\in\mathcal{A}$ [/mm] gilt (z.B. wegen der Messbarkeit der [mm] $f_n$ [/mm] und von $f$), ist die Konvergenz der Folge der [mm] $f_n$ [/mm] gegen $f$ in der Tat gleichbedeutend mit [mm] $\mu(\Omega\setminus\{x\in\Omega:\limes_{n\rightarrow\infty}f_n(x)=f(x)\})=0$.
[/mm]
Viele Grüße
Tobias
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:14 Di 01.04.2014 | | Autor: | Herbart |
Vielen Dank!
MfG Herbart
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