Konvergenz eines uneigtl. Int. < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Untersuche auf Konvergenz:
[mm] $f:=\int_0^\infty \sqrt{t}\cos(t^2)\ [/mm] dt$ |
Hallo Leute.
Verstehe ich das richtig so?
Ich wende das Majorantenkriterium an.
Eine Majorante ist (z.B.) [mm] $g:=\sqrt{t}$, [/mm] denn [mm] $|f(t)|\leq\sqrt{t}$ [/mm] für alle [mm] $t\in\[0,\infty)$.
[/mm]
Das Integral existiert.
Heißt das jetzt, dass [mm] $\int_0^\infty [/mm] f(t) dt$ absolut konvergiert?
Danke
eagle
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Das Integral existiert? Und wie lautet dann der Wert von [mm]\int_0^\infty {\sqrt{t} dt} [/mm] ?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:43 Mi 06.06.2007 | | Autor: | goldeagle |
Gut, stimmt, das war Murks gestern... ich habe erst später gemerkt, was es heißen soll, wenn das Int existiert... , naja, neuer Versuch
Ich wollte jetzt eine Minorante finden, doch nun seh ich in meinem Lehrbuch, dies geht nur, wenn [mm] $0\leq [/mm] g(x) [mm] \leq [/mm] f(x)\ \ [mm] \forall x\in \lbracket 0,\infty)$ [/mm] ist.
Kann ich das Kriterium hier dann gar nicht anwenden?
Wenn doch (mit Beträgen oder so), würde ich sagen:
[mm] $\cos x^2 \leq \sqrt{x}\cos{x^2}$
[/mm]
Das Integral der linken Seite divergiert, also divergiert f(x).
Ok?
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Jo, das klingt gut.
Ergänzung:
Das galt für die Divergenz. Wenn man sich die Funktion veranschaulicht, dann oszilliert sie bei größer werdendem t mit zunehmender Amplitude und Frequenz um die Null.
Möglicher Ansatz für Beweis der Divergenz: Nehme die Reihenentwicklung des Cosinus, setze innen [mm]t^2[/mm] ein, multipliziere mit [mm]\wurzel{t}[/mm] aus und vertausche Summe und Integral. Hab's aber nicht weiter durchgerechnet...
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:35 Mi 06.06.2007 | | Autor: | Zaed |
Deine Abschätzung stimmt aber nur für [mm] x \ge 1 [/mm]
Aber was machst du, wenn dein x kleiner als 1 wird. Dann ist die Ungleichung mit dem Cosinus nicht erfürllt.
Die Idee ist erstmal nicht schlecht, und eigentlich auch so anwendbar! Also deine Vorgehensweise ist richtig, aber bei dieser Funktion kommst du so glaube ich nicht zum Ziel (zumindest nicht so einfach)
ABER: du musst bei deiner Argumentation betrachten, dass es bei der Kovergenz egal ist, wo du anfängst. D.h. statt dem Integral [mm] \integral_{0}^{\infty}{f(x) dx} [/mm] betrachtest du das Integral [mm] \integral_{1}^{\infty}{f(x) dx} [/mm]
Wenn das schon nicht konvergiert, dann konvergiert das andere erst recht nicht
du hast also:
[mm] \integral_{1}^{\infty}{cos(x^2) dx} \le \integral_{1}^{\infty}{\wurzel{x}cos(x^2) dx} [/mm]
So wolltest du abschätzen?
Nun kommt der Hacken: Du behauptest, dass das linke Integral divergent ist! Wie kommst du darauf? Ich behaupte schon, dass es konvergiert, wieso sollte es das auch nicht tun? Außedem erfüllt sie nicht die Eigenschaft, immer größer gleich 0 zu sein. (Wie du auch schon festgestellt hast)
Dies sollte jetzt einmal zur Verdeutlichung der Vorgehensweise mit Minoranten dienen, nun zum eigentlichen Versuch einer Lösung:
Was muss denn bei einem uneigentlichen Integral gelten, damit es konvergiert? Vor allem ist deine Funktion nicht beschränkt... Was kann man über deren Grenzwert aussagen? Und über ihre Monotonie, usw.
Veranschauliche dir erstmal die Funktion, dann erkennst du vielleicht etwas...
Kann man daraus vielleicht etwas ableiten?
(ich bin mir nicht mehr genau sicher, ob man das so einfach sagen kann, aber dem intuitiven Verständnis her müsste das gehen)
Ob man dieses Problem mit Minorante lösen kann weis ich nicht genau... ich finde zumindest auf Anhieb keine! Vielleicht versuche ich es nachher nochmal, wenn ich ein wenig mehr Zeit habe!
mfG Zaed
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