Konvergenz eines Integrals < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:55 Mo 28.05.2007 | | Autor: | Engel205 |
Wie zeigt man, dass [mm] \integral_{0}^{\infty}{ \bruch{sinx}{x}dx} [/mm] zwar konvergiert aber nicht absolut konvergiert?
Kann mir dabei vielleicht jemand helfen?
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> Wie zeigt man, dass [mm]\integral_{0}^{\infty}{ \bruch{sinx}{x}dx}[/mm]
> zwar konvergiert aber nicht absolut konvergiert?
>
> Kann mir dabei vielleicht jemand helfen?
1)Konvergenz: [mm] $0\leq \int_0^{k\pi} \frac{\sin x}{x} [/mm] dx [mm] \leq C+\frac{1}{\pi}\sum_{l=1}^k\frac{(-1)^l}{l}$
[/mm]
2)Nicht absolute Konvergenz: [mm] $\int_0^{k\pi} \vert\frac{\sin x}{x}\vert [/mm] dx [mm] \geq \frac{C_0}{\pi}\sum_{l=1}^k\frac{c_l}{l+1}$ [/mm] mit gewissen Konstanten [mm] $c_l$ [/mm] (welche?)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:30 Mo 28.05.2007 | | Autor: | Engel205 |
Verstehe ich nicht? Was genau müsste man da denn jetzt zeigen?
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Hallo.
Dieser Lösungsvorschlag für die Konvergenz ist nicht richtig. Die Beschränktheit der Folge der Integrale von 0 bis [mm] k*\pi [/mm] bringt ja nichts für die Konvergenz, wenn diese Folge nicht monoton wächst; sie ist dann eben erst mal nur beschränkt, mehr nicht.
Du könntest das Cauchy-Kriterium verwenden und zeigen, daß für jedes [mm] \varepsilon [/mm] > 0 ein s existiert, so daß
[mm] \int_{t}^{\infty} \bruch{sin x}{x}dx [/mm] < [mm] \varepsilon
[/mm]
für alle t [mm] \ge [/mm] s. Dazu zerlegst Du das Integral am besten über den Intervallen [mm] [k*\pi,(k+1)*\pi] [/mm] und den Rest am Anfang, [mm] [t,l*\pi], [/mm] das Stück von t bis zum nächsten ganzzahligen Vielfachen von [mm] \pi. [/mm] Es ist wichtig, daß t so allgemein ist und nicht gerade ein solches [mm] k*\pi; [/mm] ist dann zwar etwas schneller zu rechnen, aber eben nicht vollständig!! Schau Dir dazu noch mal genau die Definition von konvergenten uneigentlichen Integralen an!
Auf diesen Teilstücken [mm] [k*\pi,(k+1)*\pi] [/mm] mußt Du dann geeignet abschätzen, so daß Du mit einer alternierenden Reihe wie im ersten Lösungsvorschlag vergleichen kannst.
Gruß
To
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:29 Di 29.05.2007 | | Autor: | kornfeld |
Hallo zusammen.
Ich gebe zu, dass ich keinen vollstaendigen Beweis angegeben habe. Die Idee war vielmehr, auszunutzen, dass alternierende Reihen konvergieren, sofern die Glieder (betragsmaessig) Nullfolgen sind. Hierzu eine Ergaenzung.
Das Integral [mm] $\int_0^t\frac{\sin(x) dx}{x}$ [/mm] laesst sich in eine alternierende Summe + Rest zerlegen: sei $t [mm] \in [k\pi [/mm] , (k+1) [mm] \pi)$. [/mm] Dann
[mm] $\int_0^t \frac{\sin(x) dx}{x}=\int_0^{k\pi} \frac{\sin(x) dx}{x} [/mm] + [mm] \int_{k\pi}^t\frac{\sin(x) dx}{x}$.
[/mm]
Das erste Integral laesst sich schreiben als eine Summe der Form [mm] $\sum_{l=0}^k (-1)^{l} b_l$ [/mm] wobei die [mm] $b_l$ [/mm] positive Zahlen sind, genauer gesagt: [mm] b_l=\int_{l\pi}^{(l+1)\pi}\vert\frac{\sin(x)}{x}\vert [/mm] dx$. Man prueft leicht nach, dass die [mm] $b_l$ [/mm] eine Nullfolge sind. Der Restterm ist durch [mm] $\ln(1+1/k)$ [/mm] nach oben bzw. durch [mm] $-\ln(1+1/k)$ [/mm] nach unten abschaetzbar (fuer alle $t$ aus dem Intervall). Daraus folgt unter Zuhilfnahme des Leibnizkriteriums die Konvergenz der Funktion [mm] $t\to \int_0^t \frac{\sin(x) dx}{x}$. [/mm] Das ist jetzt nicht genau das, was mein Vorredner vorgeschlagen hat, ist aber vielleicht mit Hinblick auf die definition uneigentlicher Integrale direkter. Nun ja. Geschmacksache.
In diesem Zusammenhang moechte ich einen allgemeinen Gedanken zum Sinn und Zweck des Forums aeussern. Ich spreche jetzt niemanden persoenlich an. Man kann, muss aber darueber diskutieren. Schliesslich ist unser Beitrag hier freiwillig fuer ein freies Forum.
Ich finde es gut, dass die Fragesteller gelegentlich auch nachhacken, zeigt es doch, dass das Forum gewissen Aengsten Einhalt gebietet, die gerade Erstsemester haben. Jedoch finde ich nicht, dass das forum dazu dienen sollte, den Anfaengern es zu erlauben, ohne grosse Muehe an die Loesung zu kommen. Wir - diejenigen, die mehr Wissen und Uebung haben - sollten uns manchmal etwas zuegeln. Eventuell in Prosa den Weg vorzeigen, ihn aber nicht ausfuehren. Ich moechte jetzt wirklich keinen Unmut bei Euch wecken, aber Mathematikstudium heisst eben auch Eigenstudium. Es ist eben nicht dasselbe, die Loesung von jemandem zu bekommen, als sie sich selbst hart erarbeitet zu haben. Das mag pathetisch klingen, entspricht aber meiner Erfahrung und vielleicht auch eurer eigenen.
Liebe Gruesse, Kornfeld
LG Kornfeld
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:10 Mi 30.05.2007 | | Autor: | Engel205 |
Habe ich auch niemals verlangt. ich hätte es nämlich auch nach oben hin abgeschätzt um zu zeigen dass das integral konvergent ist. weil wir das so in der vorlesung gemacht haben. wollte nur meine ergebnisse überprüfen um sicher gehen zu können, dass ich es verstanden habe. wenn es anders rüber gekommen ist, dann tut es mir leid.
MGF
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