Konvergenz einer Rekursion < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 08:38 Di 11.11.2014 | | Autor: | dodo1924 |
| Aufgabe | | Gegeben sei die rekursiv definierte Folge [mm] a_1=1 [/mm] und [mm] a_{n+1}=a_n+\frac{1}{a_n} [/mm] für n [mm] \ge [/mm] 1. Untersuche die Folge hinsichtlich Monotonie, Beschränktheit und Konvergenz. |
Hi!
Also, Monotonie hab ich schon folgend gezeigt:
[mm] a_{n+1} \ge a_n \gdw a_n+\frac{1}{a_n} \ge a_n \gdw \frac{1}{a_n} \ge [/mm] 0
was ja erfüllt ist, da [mm] n\ge1 [/mm] lt definition.
Die Folge ist also monoton steigend.
Die untere Schranke kann ich nun dank der Monotonie bestimmen:
diese ist 1, also [mm] 1\le a_n [/mm] für alle [mm] n\in\IN.
[/mm]
Wie komme ich nun auf die obere Schranke?
Ich habe die Folge gerade mit einer Java for schleife simuliert!
Anscheinend wächst sie ins unendliche, ist also bestimmt divergent!
Aber wie zeige ich das jetzt? Bzw wie zeige ich, dass es keine obere Schranke gibt?
lg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:10 Di 11.11.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Gegeben sei die rekursiv definierte Folge [mm]a_1=1[/mm] und
> [mm]a_{n+1}=a_n+\frac{1}{a_n}[/mm] für n [mm]\ge[/mm] 1. Untersuche die
> Folge hinsichtlich Monotonie, Beschränktheit und
> Konvergenz.
> Hi!
>
> Also, Monotonie hab ich schon folgend gezeigt:
>
> [mm]a_{n+1} \ge a_n \gdw a_n+\frac{1}{a_n} \ge a_n \gdw \frac{1}{a_n} \ge[/mm]
> 0
> was ja erfüllt ist, da [mm]n\ge1[/mm] lt definition.
du meinst [mm] $a_1=1 [/mm] > [mm] 0\,.$ [/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Genaugenommen folgt also
[mm] $a_{n+1} \ge a_n$
[/mm]
per Induktion:
Wir zeigen zunächst
[mm] $a_n [/mm] > 0$ für alle $n [mm] \in \IN\,.$
[/mm]
Für n=1 ist [mm] $a_n=a_1=1 [/mm] > [mm] 0\,.$ [/mm] Sei nun $n [mm] \in \IN$ [/mm] mit
[mm] $a_n [/mm] > [mm] 0\,.$ [/mm]
Es folgt
[mm] $a_{n+1}=a_n+\frac{1}{a_n} [/mm] > [mm] a_n [/mm] > [mm] 0\,.$
[/mm]
Und damit sieht man sofort: Für jedes $n [mm] \in \IN$ [/mm] ist
[mm] $a_{n+1}-a_n=...=1/a_n [/mm] > [mm] 0\,.$
[/mm]
> Die Folge ist also monoton steigend.
(Sogar streng!)
> Die untere Schranke kann ich nun dank der Monotonie
> bestimmen:
> diese ist 1, also [mm]1\le a_n[/mm] für alle [mm]n\in\IN.[/mm]
Das ist EINE untere Schranke. Sie ist *optimal*, quasi die größtmögliche
untere Schranke für [mm] $(a_n)_n$. [/mm] Warum?
> Wie komme ich nun auf die obere Schranke?
Es gibt nicht nur "eine" obere Schranke.
> Ich habe die Folge gerade mit einer Java for schleife
> simuliert!
> Anscheinend wächst sie ins unendliche, ist also bestimmt
> divergent!
> Aber wie zeige ich das jetzt? Bzw wie zeige ich, dass es
> keine obere Schranke gibt?
Du könntest annehmen, dass die Folge nach oben beschränkt ist. Nach dem
Hauptsatz über monotone Folgen gilt dann, dass die Folge konvergiert,
und dann folgte mit
[mm] $a:=\lim_{n \to \infty} a_n \in \IR$
[/mm]
dass wegen
$a [mm] \stackrel{n \to \infty}{\longleftarrow} a_{n+1}=a_n+1/a_n \stackrel{n \to \infty}{\longrightarrow} [/mm] a+1/a$
und der Eindeutigkeit des Grenzwertes dann $a [mm] \in \IR$ [/mm] die Gleichung
[mm] $a=a+1/a\,$
[/mm]
erfüllen müßte. Zeige, dass ein solches $a [mm] \in \IR$ [/mm] nicht existiert.
(Beachte: [mm] $\infty$ [/mm] ist ein Symbol mit [mm] $\infty \notin \IR$!)
[/mm]
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:19 Di 11.11.2014 | | Autor: | dodo1924 |
Das einzige a, dass die Gleichung erfüllen würde, wäre a=0!
Kann aber nicht sein, da 1 ja eine untere Schranke für die Folge [mm] a_n [/mm] ist, oder?
Also gibt es hier einen Widerspruch und deshalb auch keinen Grenzwert [mm] \Rightarrow [/mm] die Folge ist divergent [mm] \Rightarrow a_n [/mm] ist nach oben unbeschränkt?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:45 Di 11.11.2014 | | Autor: | fred97 |
> Das einzige a, dass die Gleichung erfüllen würde, wäre
> a=0!
Nein. a=0 ist keine Lösung der Gleichung
$ [mm] a=a+1/a\, [/mm] $
!!!!.
Diese Gleichung hat keine Lösung !
> Kann aber nicht sein, da 1 ja eine untere Schranke für
> die Folge [mm]a_n[/mm] ist, oder?
Wie gesagt, obige Gl. hat keine Lösung !
> Also gibt es hier einen Widerspruch und deshalb auch
> keinen Grenzwert [mm]\Rightarrow[/mm] die Folge ist divergent
Ja
> [mm]\Rightarrow a_n[/mm] ist nach oben unbeschränkt?
Ja
FRED
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:42 Di 11.11.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Das einzige a, dass die Gleichung erfüllen würde, wäre
> a=0!
wie kommst Du darauf?
$a+1/a=a$
[mm] $\iff$ $1/a=0\,.$
[/mm]
[mm] $1/0\,$ [/mm] ist NICHT definiert (aus gutem Grunde). Aber was so ersichtlich ist,
ist, dass kein $a [mm] \in \IR \setminus \{0\}$ [/mm] als Grenzwert in Frage kommt. Und die
Frage, ob [mm] $a=0\,$ [/mm] möglich sein kann:
> Kann aber nicht sein, da 1 ja eine untere Schranke für
> die Folge [mm]a_n[/mm] ist, oder?
Bspw. - es folgt aber auch etwa, weil [mm] $(a_n)_n$ [/mm] monoton wachsend ist und
jedenfalls ein [mm] $a_{n_0} [/mm] > 0$ ist.
Würdest Du nämlich
[mm] $(b_n)_n$
[/mm]
durch [mm] $b_1:=-1\,,$ $b_2:=0$ [/mm] und [mm] $b_{n+1}:=a_{n-1}$ [/mm] für natürliches $n [mm] \ge [/mm] 2$
betrachten, dann wäre Dein Argument *umformulierungsbedürftig*, denn
[mm] $(b_n)_n$ [/mm] ist nicht mehr durch eine positive Zahl nach unten beschränkt...
Siehe auch
Leduarts Hinweis hier (klick!)
in diesem Zshg.!
> Also gibt es hier einen Widerspruch und deshalb auch
> keinen Grenzwert [mm]\Rightarrow[/mm] die Folge ist divergent
> [mm]\Rightarrow a_n[/mm] ist nach oben unbeschränkt?
Ja. Die Logik ist aber die: Wäre die Folge nach oben beschränkt, so wäre
sie auch konvergent gegen ein $a [mm] \in \IR\,.$ [/mm] Wir haben aber gesehen, dass das
nicht möglich ist. Also muss sie nach oben unbeschränkt sein.
Und ja: Sie kann auch nicht konvergent sein. Zum einen haben wir eben
gesehen, dass keine Zahl $a [mm] \in \IR$ [/mm] als GW in Frage kommt. Zum anderen:
Konvergente Folgen sind insbesondere beschränkt - also insbesondere
auch nach oben beschränkt.
Gruß,
Marcel
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