Konvergenz einer Reihe sqrt < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:22 Mo 12.04.2010 | | Autor: | TiloW |
| Aufgabe | Zeige, dass für die Funktion
]0,1] [mm] \to \IR, [/mm] x [mm] \mapsto \bruch{1}{\wurzel{x}}
[/mm]
das Unterintegral existiert aber nicht das Oberintegral. |
Die Frage habe ich soweit verstanden, dass das Riemann-Oberintegral nicht existiert ist mir klar. Das Unterintegral konnte ich umformen zu:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\summe_{i=1}^{n}\bruch{1}{\wurzel{ni}}
[/mm]
Nur wie ich die Konvergenz dieser Reihe jetzt zeige ist mir nicht klar.
[mm] \bruch{1}{i} \ge \bruch{1}{\wurzel{ni}} \ge \bruch{1}{n} [/mm] bringt mich leider nicht weiter.. damit weiss ich nur das der Grenzwert irgendwo zwischen 1 und Unendlich liegen muss.
Hoffe mir kann jemand ein Tipp geben :)
MfG
Tilo
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Weil die Glieder Größer als die der harmonischen Reihe sind, ist der Grenzwert [mm] \infty. [/mm] Was du gebildet hast, ist ja auch so etwas wie das Integral von 0 bis [mm] \infty, [/mm] wobei die "Riemann-Streifen" immer die Breite 1 haben.
Was du zeigen sollst ist aber, dass das Integral von 0 bis 1 in Form der Untersumme existiert. Du musst also die Fläche in immer kleinere Streifen der Dicke 1/n schneiden und mit dem rechten Randwert (= Funktionsminimum der Funktion in diesem Streifen - daher Untersumme) jedes Streifens (= Höhe) multiplizieren. Mit dem linken Randwert (= Funktionsmaximum - daher Obersumme) geht dies nicht beim linken Rand.
Also: Deine Summanden heißen ein bisschen anders und müssen auch noch mit der Intervallbreite multipliziert werden.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:53 Di 13.04.2010 | | Autor: | TiloW |
Aber das habe ich doch gemacht, hier einmal ausführlich die Untersumme in Abhängigkeit von der Anzal n der Intervalle in die ]0,1] "zerschnitten" wird:
Weil die Funktion auf ]0,1] monoton fallend ist berechnet sich die Untersumme folgendermaßen
[mm] \limes_{a \rightarrow 0}\summe_{i=1}^{n}(\bruch{1-a}{n}\cdot\bruch{1}{\sqrt{a+i \cdot \bruch{1-a}{n}}})
[/mm]
= [mm] \summe_{i=1}^{n}\bruch{1}{n}\cdot\bruch{1}{\sqrt{i \cdot \bruch{1}{n}}}
[/mm]
= [mm] \summe_{i=1}^{n}\bruch{1}{\sqrt{i n}}
[/mm]
Jetzt ist die Frage was passiert wenn n gegen unendlich geht... oder?!
Und außerdem sind die Glieder nicht größer als die der harmonischen Reihe sondern immer kleiner (siehe ersten Post).
@HJKweseleit: wie sollten die Summanden deiner Meinung nach aussehen?
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Hiho,
also erstmal: Ich komm auch auf deine Summe für die Untersumme.
D.h. da steht:
$ [mm] \summe_{i=1}^{n}\bruch{1}{\sqrt{i n}} [/mm] = [mm] \bruch{1}{\sqrt{n}}\summe_{i=1}^{n}\bruch{1}{\sqrt{i}}$
[/mm]
Zeige nun:
[mm] $\summe_{i=1}^{n}\bruch{1}{\sqrt{i}} \le 2\sqrt{n}$
[/mm]
Sowie die gesammte Untersumme ist monoton.
MFG,
Gono.
(Ausser du findest natürlich eine schöne Summenformel für den Kram).
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:17 Do 15.04.2010 | | Autor: | TiloW |
Okay jetzt hab ich's (Induktion!) ..Danke :)
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