Konvergenz einer Reihe < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:16 Sa 30.10.2010 | | Autor: | Megumi |
| Aufgabe | Sei c>1 eine reelle Zahl. Für natürliches n betrachten wir die Funktion
s(n) = [mm] \summe_{x=1}^{n} \bruch{1}{x^c}
[/mm]
Zeigen Sie, dass es eine Konstante d>0 gibt, sodass für alle natürlichen n gilt s(n) <= d. |
Hallo,
ehrlich gesagt weiß ich noch nicht einmal richtig wie ich an diese Aufgabe rangehen soll, da Abschätzen nicht möglich ist (weil 1/x divergiert und c reell ist, also nicht mit [mm] 1/x^2 [/mm] abgeschätzt werden kann).
Ich hoffe ihr könnt mir weiterhelfen.
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Hallo Megumi,
> Sei c>1 eine reelle Zahl. Für natürliches n betrachten
> wir die Funktion
> s(n) = [mm]\summe_{x=1}^{n} \bruch{1}{x^c}[/mm]
> Zeigen Sie, dass
> es eine Konstante d>0 gibt, sodass für alle natürlichen n
> gilt s(n) <= d.
> Hallo,
> ehrlich gesagt weiß ich noch nicht einmal richtig wie ich
> an diese Aufgabe rangehen soll, da Abschätzen nicht
> möglich ist (weil 1/x divergiert und c reell ist, also
> nicht mit [mm]1/x^2[/mm] abgeschätzt werden kann).
> Ich hoffe ihr könnt mir weiterhelfen.
Du musst "geschickt" Summanden zusammenfassen, dann bekommst du eine Abschätzung durch eine geometr. Reihe:
Es ist [mm]s(n)=1+\red{\frac{1}{2^c}+\frac{1}{3^c}}+\blue{\frac{1}{4^c}+\frac{1}{5^c}+\frac{1}{6^c}+\frac{1}{7^c}}+\ldots+\frac{1}{n^c}[/mm]
[mm]\le 1+\red{\left(\frac{1}{2^c}+\frac{1}{2^c}\right)}+\blue{\left(\frac{1}{4^c}+\frac{1}{4^c}+\frac{1}{4^c}+\frac{1}{4^c}\right)}+\ldots+\frac{1}{2^{k\cdot{}c}}[/mm]
wobei [mm]k\in\IN[/mm] die kleinste nat. Zahl mit [mm]2^k\ge n[/mm]
[mm]\le 1+\frac{2}{2^c}+\frac{4}{4^c}+\ldots+\frac{2^k}{2^{k\cdot{}c}}[/mm]
[mm]= \ 1+\frac{1}{2^{c-1}}+\frac{1}{2^{2(c-1)}}+\ldots+\frac{1}{2^{k(c-1)}}[/mm]
Nun ist es nicht mehr weit, bis du eine passende, von [mm]n[/mm] unabh. Konstante gefunden hast ...
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:38 Sa 30.10.2010 | | Autor: | Megumi |
Da muss man ja wirklich kreativ sein und um die Ecke denken.
Vielen Dank für die Hilfe.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:44 Sa 30.10.2010 | | Autor: | fred97 |
Schau mal hier:
https://matheraum.de/read?t=726852
FRED
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