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Forum "Folgen und Reihen" - Konvergenz einer Reihe
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Konvergenz einer Reihe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:25 Fr 15.10.2010
Autor: pppppp

Aufgabe
untersuchen Sie die Reihe auf Konvergenz:

[mm]\summe_{i=1}^{unendlich} (\bruch{1}{i(i+1)}-\bruch{4}{i}) [/mm]



Mein Ansatz:

Majorantenkriterium: Eine Reihe [mm] \summe_{i=1}^{unendlich} a_{i}[/mm] ist absolut konvergent, wenn es eine konvergente andere Reihe  [mm] \summe_{i=1}^{unendlich} b_{i}[/mm]  sowie ein [mm] i_{0} [/mm] gibt, für welches gilt: [mm] |a_{i}| [/mm] kleiner oder gleich [mm] b_{i} [/mm] für alle [mm] i>i_{0}-1 [/mm]

Also habe ich eine Summe gesucht, die für jedes i größer ist:

[mm]\summe_{i=1}^{unendlich} (\bruch{1}{i}) [/mm] > [mm]\summe_{i=1}^{unendlich} (\bruch{1}{i(i+1)}-\bruch{4}{i}) [/mm]

und versucht die Konvergenz nachzuweisen. Dafür habe ich das Quotientenkriterium verwendet:

q =  [mm]\bruch{|\bruch{1}{i+1}|}{|\bruch{1}{i}|} = \bruch{i}{i+1}[/mm] < 1   weil (i+1) größer ist als i

Nach dem Quotientenkriterium ist eine Reihe für q < 1 absolut konvergent, somit ist [mm]\summe_{i=1}^{unendlich} (\bruch{1}{i}) [/mm] eine konvergente Majorante und beide Reihen konvergent.

Aufgabe gelöst, Juchuh, [klatsch] ... von wegen [heul] in der Lösung steht, dass die Reihe divergiert!

Findet jemand evt. den Fehler?
Ich wäre superglücklich darüber!


Grüße Philipp



Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.


        
Bezug
Konvergenz einer Reihe: Konvergenzkriterien
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:38 Fr 15.10.2010
Autor: Al-Chwarizmi

Guten Abend Philipp,


> untersuchen Sie die Reihe auf Konvergenz:
>  
> [mm]\summe_{i=1}^{unendlich} (\bruch{1}{i(i+1)}-\bruch{4}{i}) [/mm]
>  
> Mein Ansatz:
>  
> Majorantenkriterium: Eine Summe [mm]a_{i}[/mm] ist absolut
> konvergent, wenn eine konvergente andere Summe [mm]b_{i}[/mm] gibt,        [haee]

warum lässt du die Summenzeichen einfach weg ??

> die für alle i größer ist als [mm]a_{i}[/mm] .

Das stimmt so nicht. Schau dir das Majorantenkriterium genau an !


> Also habe ich eine Summe gesucht, die für jedes i größer
> ist:
>  
> [mm]\summe_{i=1}^{unendlich} (\bruch{1}{i})[/mm] >
> [mm]\summe_{i=1}^{unendlich} (\bruch{1}{i(i+1)}-\bruch{4}{i})[/mm]
>
> und versucht die Konvergenz nachzuweisen. Dafür habe ich
> das Quotientenkriterium verwendet:
>  
> q =  [mm]\bruch{|\bruch{1}{i+1}|}{|\bruch{1}{i}|} = \bruch{i}{i+1}[/mm]

  < 1   weil (i+1) größer ist als i
  
> Nach dem Quotientenkriterium ist eine Reihe für q < 1
> absolut konvergent,      [haee]

Schau dir auch das Quotientenkriterium genau an !

>somit ist [mm]\summe_{i=1}^{unendlich} (\bruch{1}{i})[/mm]
> eine konvergente Majorante und beide Reihen konvergent.

> Grüße Philipp

Bezug
        
Bezug
Konvergenz einer Reihe: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:04 Fr 15.10.2010
Autor: pppppp

Hab erstmal geflucht aber habe gerade den Fehler gefunden: das Quotientenkriterium sagt ja gar nichts aus über limes [mm] a_{i-1} [/mm] / [mm] a_{i} [/mm] = 1 !!

Merci

Bezug
                
Bezug
Konvergenz einer Reihe: harmonische Reihe
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:07 Fr 15.10.2010
Autor: reverend

...und dass die harmonische Reihe [mm] \summe\bruch{1}{n} [/mm] divergiert, ist absolut nötiges Grundwissen bei Reihen! Das ist also eine divergente Majorante, und damit sowieso nicht geeignet.
Grüße
reverend

Bezug
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