Konvergenz einer Reihe < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:57 Mi 23.09.2009 | | Autor: | ball |
| Aufgabe | | Konvergiert die Reihe [mm] \summe_{n=0}^{\infty} (-1)^n * (\wurzel{n+1} - \wurzel{n}) [/mm] |
Hallo!
Ich soll die Reihe auf Konvergenz prüfen. Sie soll nach dem Leibniz-Kriterium konvergieren.
Die Folge [mm] a_{n} := \wurzel{n+1} - \wurzel{n} [/mm] ist eine Nullfolge positiver Zahlen, das habe ich bereits nachgeprüft.
Die einzige Voraussetzung, die mir fehlt, ist nachzuprüfen, dass die Folge [mm] (a_{n})_{n \in \IN [/mm] monoton fallend ist.
Die Monotonie nachzuweisen sollte nicht allzu schwer sein, aber ich bekomm's nicht hin.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Danke & Grüße
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Hallo ball und herzlich ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") ,
> Konvergiert die Reihe [mm]\summe_{n=0}^{\infty} (-1)^n * (\wurzel{n+1} - \wurzel{n})[/mm]
>
> Hallo!
>
> Ich soll die Reihe auf Konvergenz prüfen. Sie soll nach
> dem Leibniz-Kriterium konvergieren.
> Die Folge [mm]a_{n} := \wurzel{n+1} - \wurzel{n}[/mm] ist eine
> Nullfolge positiver Zahlen, das habe ich bereits
> nachgeprüft.
> Die einzige Voraussetzung, die mir fehlt, ist
> nachzuprüfen, dass die Folge [mm](a_{n})_{n \in \IN[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
monoton
> fallend ist.
>
> Die Monotonie nachzuweisen sollte nicht allzu schwer sein,
> aber ich bekomm's nicht hin.
Erweitere mal den Term $\sqrt{n+1}-\sqrt{n}$ mit $\blue{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}$
Damit wirst du wegen der 3.binomischen Formel die Wurzeln im Zähler los.
Das ist ein ganz typischer Erweiterungs"trick", den es ich lohnt zu merken!
Das gibt $\frac{(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})\cdot{}\blue{(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})}}{\blue{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}}=...$
Dann bedenke, dass die Wurzelfunktion monoton steigend ist ...
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> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Danke & Grüße
>
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:00 Mi 23.09.2009 | | Autor: | ball |
Hi,
danke, den Tipp habe ich schon gebraucht um zu zeigen, dass [mm] a_n [/mm] eine Nullfolge ist, denn das folgt ja aus [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} a_n = \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1}{\wurzel{n+1}+\wurzel{n}} = 0 [/mm].
Aber für monoton fallend ist ja [mm] \bruch{a_n}{a_{n+1}} \ge 1[/mm] zu zeigen, oder? Und das bekomme ich nicht hin...
Danke.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:03 Mi 23.09.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo ball!
Wegen der Monotonie der Wurzelfunktion kann man nun auch auf die Monotonie des Terms
[mm] $$\bruch{1}{\wurzel{n+1}+\wurzel{n}}$$
[/mm]
schließen.
Aber Du kannst ja auch alternativ den Term [mm] $a_{n+1}-a_n$ [/mm] ermitteln. Diese Differenz sollte bei "monoton fallend" einen negativen Wert erhalten.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:09 Mi 23.09.2009 | | Autor: | ball |
Jo, da hab ich lange auf dem Schlauch gestanden...
Damit gilt:
[mm] \bruch{a_n}{a_{n+1}} = \bruch{\wurzel{n+2}+\wurzel{n+1}}{\wurzel{n+1}+\wurzel{n}} \ge 1[/mm], oder?
Dankeschön....
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Hallo nochmal,
> Jo, da hab ich lange auf dem Schlauch gestanden...
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> Damit gilt:
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> [mm]\bruch{a_n}{a_{n+1}} = \bruch{\wurzel{n+2}+\wurzel{n+1}}{\wurzel{n+1}+\wurzel{n}} \ge 1[/mm],
> oder? ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Ja, wegen [mm] $\blue{\sqrt{n+2}>\sqrt{n}}$ [/mm] folgt das direkt!
[mm] $\frac{\blue{\sqrt{n+2}}+\sqrt{n+1}}{\sqrt{n}+\sqrt{n+1}} [/mm] \ [mm] \blue{>} [/mm] \ [mm] \frac{\blue{\sqrt{n}}+\sqrt{n+1}}{\sqrt{n}+\sqrt{n+1}}=1$
[/mm]
>
> Dankeschön....
LG
schachuzipus
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