Konvergenz einer Reihe < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Zeigen sie dass die Reihe [mm] a_i [/mm] von i=0 bis [mm] \infty [/mm] mit [mm] a_i =e^{-2i}
[/mm]
konviergiert. |
also erstmal die voraussetzung dass ne reihe überhaupt konvergiert ist dass die folge gegen null konvergiert.
[mm] \limes_{i\rightarrow\infty} \bruch{1}{e^{2i}} [/mm] = 0
somit ist die voraussetzung erfüllt.
nun hab ich das wurzelkriterium angewandt:
[mm] \limes_{i\rightarrow\infty} \wurzel[i]{e^{-2i}} [/mm] =
[mm] \limes_{i\rightarrow\infty} {e^{i^2}} [/mm] =
[mm] \limes_{i\rightarrow\infty} \bruch{1}{e^(i^i)} [/mm] = 0 < 1 also konvergiert die Reihe
ist das richtig so gelöst?
(könnte das wurzelkriterium eigentlich zeigen dass ne reihe konvergiert , obwohl die obigen voraussetzung:"voraussetzung dass ne reihe überhaupt konvergiert ist dass die folge gegen null konvergiert." nicht erfüllt ist. ich frage das deshalb weil wenn ich einfach mit dem wurzelkriterium drauf losrechne ohne die voraussetzung zu prüfen dann könnte es sein dass ich aus dem wurzelkriterium schließe dass die reihe konvergiert obwohl dass ja falsch wäre , falls die voraussetzung unerfüllt ist)
ich habs noch versucht mit der geometrischen reihe zu berechnen um zu sehen gegen was es konviergiert:
und die formal lautet ja s = [mm] \bruch{t_0}{1-q}
[/mm]
also wäre es s= [mm] \bruch{1}{1 - \bruch{1}{e^2}} [/mm] richtig so?
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:45 Do 02.04.2009 | | Autor: | fred97 |
> Zeigen sie dass die Reihe [mm]a_i[/mm] von i=0 bis [mm]\infty[/mm] mit [mm]a_i =e^{-2i}[/mm]
>
> konviergiert.
> also erstmal die voraussetzung dass ne reihe überhaupt
> konvergiert ist dass die folge gegen null konvergiert.
>
> [mm]\limes_{i\rightarrow\infty} \bruch{1}{e^{2i}}[/mm] = 0
>
> somit ist die voraussetzung erfüllt.
>
> nun hab ich das wurzelkriterium angewandt:
>
> [mm]\limes_{i\rightarrow\infty} \wurzel[i]{e^{-2i}}[/mm] = [/i][/mm]
> [mm][i][mm]\limes_{i\rightarrow\infty} {e^{i^2}}[/mm] = [/i][/mm]
> [mm][i][mm]\limes_{i\rightarrow\infty} \bruch{1}{e^(i^i)}[/mm] = 0 < 1 also [/i][/mm]
> [mm][i]konvergiert die Reihe [/i][/mm]
> [mm][i][/i][/mm]
> [mm][i]ist das richtig so gelöst? [/i][/mm]
Nein. Da oben steht ziemlicher Murks.
Es ist [mm] \wurzel[i]{e^{-2i}} [/mm] = [mm] e^{-2} [/mm] = [mm] \bruch{1}{e^2} [/mm] für jedes $i$, also auch
[mm] \limes_{i\rightarrow\infty}\wurzel[i]{e^{-2i}} [/mm] = [mm] \bruch{1}{e^2}<1
[/mm]
Nach dem Wurzelkrit. ist die Reihe konvergent.
> [mm][i](könnte das wurzelkriterium eigentlich zeigen dass ne reihe [/i][/mm]
> [mm][i]konvergiert , obwohl die obigen [/i][/mm]
> [mm][i]voraussetzung:"voraussetzung dass ne reihe überhaupt [/i][/mm]
> [mm][i]konvergiert ist dass die folge gegen null konvergiert." [/i][/mm]
> [mm][i]nicht erfüllt ist.
Nein.
> ich frage das deshalb weil wenn ich [/i][/mm]
> [mm][i]einfach mit dem wurzelkriterium drauf losrechne ohne die [/i][/mm]
> [mm][i]voraussetzung zu prüfen dann könnte es sein dass ich aus [/i][/mm]
> [mm][i]dem wurzelkriterium schließe dass die reihe konvergiert [/i][/mm]
> [mm][i]obwohl dass ja falsch wäre , falls die voraussetzung [/i][/mm]
> [mm][i]unerfüllt ist)[/i][/mm]
> [mm][i] [/i][/mm]
> [mm][i][/i][/mm]
> [mm][i]ich habs noch versucht mit der geometrischen reihe zu [/i][/mm]
> [mm][i]berechnen um zu sehen gegen was es konviergiert:[/i][/mm]
> [mm][i] [/i][/mm]
> [mm][i]und die formal lautet ja s = [mm]\bruch{t_0}{1-q}[/mm][/i][/mm]
> [mm][i] [/i][/mm]
> [mm][i]also wäre es s= [mm]\bruch{1}{1 - \bruch{1}{e^2}}[/mm] richtig so? [/i][/mm]
Ja.
FRED
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:52 Do 02.04.2009 | | Autor: | BlubbBlubb |
oh stimmt ich hab da echt schrott gerechnet ... alles klar danke für deine antwort
|
|
|
|
