Konvergenz einer Reihe < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:35 So 16.11.2008 | | Autor: | Dash |
| Aufgabe | Prüfen Sie ob die folgende Reihe konvergiert:
[mm] \summe_{k=1}^{ \infty } \bruch{k}{ k^2 + 4} [/mm] |
Hallo,
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Ich finde bei dieser Aufgabe keinen Ansatz. Das Wurzelkriterium, als auch das Leibnitzkriterium sind auf diese Reihe nicht anwendbar. Ersteres nicht, weil bei [mm] a_n+1 [/mm] / [mm] a_n [/mm] die 1 rauskommt und q < 1 sein muss und zweiteres nicht, da [mm] -1^k [/mm] nicht in Erscheinung tritt. Das Wurzelkriterium kommt auch nicht in Frage. Bleibt nur noch das Majorantenkriterium. Allerdings fällt mir dazu nichts ein.. Hilfe wäre nützlich und nett.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:45 So 16.11.2008 | | Autor: | abakus |
> Prüfen Sie ob die folgende Reihe konvergiert:
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> [mm]\summe_{k=1}^{ \infty } \bruch{k}{ k^2 + 4}[/mm]
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> Hallo,
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> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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> Ich finde bei dieser Aufgabe keinen Ansatz. Das
> Wurzelkriterium, als auch das Leibnitzkriterium sind auf
> diese Reihe nicht anwendbar. Ersteres nicht, weil bei [mm]a_n+1[/mm]
> / [mm]a_n[/mm] die 1 rauskommt und q < 1 sein muss und zweiteres
> nicht, da [mm]-1^k[/mm] nicht in Erscheinung tritt. Das
> Wurzelkriterium kommt auch nicht in Frage. Bleibt nur noch
> das Majorantenkriterium. Allerdings fällt mir dazu nichts
> ein.. Hilfe wäre nützlich und nett.
Hallo,
[mm] \bruch{k}{ k^2 + 4}= \bruch{1}{ k + 4/k} [/mm] , und ab k=5 ist das größer als [mm] \bruch{1}{ k + 1}. [/mm]
Bereits die Reihe von [mm] \bruch{1}{ k + 1} [/mm] divergiert, ist also hier eine divergente Minorante.
Gruß Abakus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:14 So 16.11.2008 | | Autor: | Dash |
Danke für deine schnelle Antwort.
Eine Frage bleibt. Wie bist du auf [mm] \bruch{1}{ k + 1} [/mm] als divergente Minorante gekommen. Erfahrung oder gibt es eine Sammlung von "Beispielen", welche man für das Minoranten- bzw. Majorantenkriterium anwenden kann?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:43 So 16.11.2008 | | Autor: | abakus |
> Danke für deine schnelle Antwort.
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> Eine Frage bleibt. Wie bist du auf [mm]\bruch{1}{ k + 1}[/mm] als
> divergente Minorante gekommen. Erfahrung oder gibt es eine
> Sammlung von "Beispielen", welche man für das Minoranten-
> bzw. Majorantenkriterium anwenden kann?
Also: [mm]\bruch{1}{ k + 4/k}[/mm] ist "fast" 1/k , denn für wachsende k geht 4/k gegen Null.
Dass die Reihe 1/k divergiert, ist ja bekannt.
Aber 1/k ist dummerweise etwas größer als [mm] \bruch{1}{ k + 4/k}, [/mm] kann deshalb nicht selbst als Minorante verwendet werden.
Also habe ich nach einer anderen Minorante gesucht, deren Nenner groß genug ist, um die "kleine Störung" von 4/k zu überdecken.
Da 4/k gegen Null geht, reicht es aus, im Nenner +1 zu rechnen, um dieses Ziel (mit Ausnahme endlich vieler Summanden am Anfang) zu erreichen.
So gesehen ist alles recht einfach und logisch, aber etwas Erfahrung ist sicher nicht ganz nutzlos.
Gruß Abakus
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