Konvergenz einer Reihe < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:49 So 02.12.2007 | | Autor: | schnuri |
| Aufgabe | | Sie haben gezeigt, dass $ j! [mm] \ge 4^j [/mm] \ [mm] \forall [/mm] j [mm] \in \IN, [/mm] j [mm] \ge [/mm] 9 $. Zeigen Sie nun dass die Reihe $ [mm] \sum_{k=0}^{\infty} \frac{2^k}{k!} [/mm] $ konvergiert |
Hi all,
ich habe Schwierigkeiten mit dieser Aufgabe. Ich würde so vorgehen:
Die Reihe in zwei Teilsummen teilen (da ich weiss, dass ab k>=9 der Nenner >= Zähler):
$ [mm] \sum_{k=0}^{\infty} \frac{2^k}{k!} [/mm] = [mm] \sum_{k=0}^{8} \frac{2^k}{k!} [/mm] + [mm] \sum_{k=9}^{\infty} \frac{2^k}{k!} [/mm] $
Für die linke Teilsumme müsste ich doch nur zeigen, dass diese $ < [mm] \infty [/mm] $ ist? Ich sehe das es so ist, ist für mich offensichtlich. Ich könnte einfach alle 9 Elemente mit Zahlen ausschreiben. Geht es eleganter?
Für die rechte Teilsumme: hmm, hier weiss ich, dass der Nenner ab k>=9 größer als der Zähler ist. Ich habe es mit dem Quotientenkriterium versucht, es so umgeformt, dass ich zeige $ [mm] a_n [/mm] - [mm] a_{n+1} [/mm] > 0 $, dabei kommt aber nichts Vernünftiges raus.
Wenn ich zeige, dass die Folge der rechten Summe monoton fallend ist (dass kein Glied der Folge für k < 9 unendlich ist, habe ich dann schon für die linke Teilsumme gezeigt), sage ich damit auch automatisch, dass die Reihe konvergent ist? Das fände ich sehr elegant!
Hätte jemand einen Tipp?
Viele Grüße,
schnuri
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> Sie haben gezeigt, dass [mm]j! \ge 4^j \ \forall j \in \IN, j \ge 9 [/mm].
> Zeigen Sie nun dass die Reihe [mm]\sum_{k=0}^{\infty} \frac{2^k}{k!}[/mm]
> konvergiert
> Hi all,
>
> ich habe Schwierigkeiten mit dieser Aufgabe. Ich würde so
> vorgehen:
>
> Die Reihe in zwei Teilsummen teilen (da ich weiss, dass ab
> k>=9 der Nenner >= Zähler):
>
> [mm]\sum_{k=0}^{\infty} \frac{2^k}{k!} = \sum_{k=0}^{8} \frac{2^k}{k!} + \sum_{k=9}^{\infty} \frac{2^k}{k!}[/mm]
>
> Für die linke Teilsumme müsste ich doch nur zeigen, dass
> diese [mm]< \infty[/mm] ist? Ich sehe das es so ist, ist für mich
> offensichtlich. Ich könnte einfach alle 9 Elemente mit
> Zahlen ausschreiben. Geht es eleganter?
Hallo,
keiner Ahnung, ob es eleganter geht, aber das ist auch nicht nötig. Wesentlich ist, daß es eine endliche Summe ist, also kommt hier ein fester endlicher Summenwert W heraus, wie groß der ist, interessiert bei dieser Fragestellung nicht, gefragt ist ja nur, ob die Reihe konvergiert.
Nun muß man noch die Konvergenz der rechten Summe sichern.
Hier hilft Dir, was Du im Vorfeld bewiesen hast,
> j! [mm] \ge 4^j [/mm] \ [mm] \forall [/mm] j [mm] \in \IN, [/mm] j [mm] \ge [/mm] 9
Natürlich gilt das auch für k.
Verwende das, und denk an die geometrische Reihe und das Majorantenkriterium.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:08 So 02.12.2007 | | Autor: | schnuri |
Hallo Angela,
ich erkenne hier die geometrische Reihe nicht... $ [mm] \sum_{k=9}^{\infty} \frac{2^k}{k!} [/mm] = [mm] \sum_{k=9}^{\infty} \frac{1}{k!} \cdot 2^k [/mm] $ ?? Kann ich da noch irgendwas aufsplitten oder rausziehen?
Ich habe mir eben das Script zur geometrischen Reihe nochmal durchgelesen, wir haben festgestellt, dass ein Glied [mm] s_n [/mm] mit $ [mm] s_n [/mm] = [mm] \frac{1-q^{n+1}}{1-q} [/mm] $ berechnet werden kann und somit $ [mm] \sum_{k=0}^{\infty} q^k [/mm] = [mm] \lim_{n \to \infty} \frac{1-q^{n+1}}{1-q} [/mm] $
Aber was ist mein q??
Ich konnte auch noch keine Reihe finden, die wir schon hatten, die ich für das Majorantenkriterium direkt verwenden kann. $ [mm] \frac{2^k}{k!} [/mm] < [mm] \frac{4^k}{k!} [/mm] \ [mm] \forall [/mm] k [mm] \ge [/mm] 9$ , aber $ [mm] \sum_{k=9}^{\infty} \frac{4^k}{k!} [/mm] $ mit der 4, weiss ich ja auch nicht, ob es konvergiert.
Ich tappe noch total im Dunklen, kannst du mir noch einen Tipp geben?
Danke und Gruß,
schnuri
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:12 So 02.12.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo schnuri!
Hattet ihr schon das  Quotientenkriterium? Damit sollte der Nachweis für die Konvergenz ziemlich schnell gehen.
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:30 So 02.12.2007 | | Autor: | schnuri |
Hi Loddar,
oh mann, du hast recht! Ich habe es vorher schon versucht, aber mich einfach verrechnet!!!
Nach dem Quotientenkriterium ist die Reihe konvergent, wenn gilt:
$ [mm] \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| [/mm] < 1 $
Eingesetzt für die Teilsumme $ [mm] \sum_{k=9}^{\infty} \frac{2^k}{k!} [/mm] $:
$ [mm] \frac{ \frac{2^{k+1}}{(k+1)!} }{ \frac{2^k}{k!} } [/mm] = [mm] \frac{ 2^{k+1} \cdot k! }{ (k+1)! \cdot 2^k } [/mm] = [mm] \frac{ 2^k \cdot 2 \cdot k! }{ k! \cdot (k+1) \cdot 2^k } [/mm] = [mm] \frac{2}{k+1} \le \frac{2}{9+1} [/mm] < 1$ (da k immer größer gleich 9!)
So ok?
Ich danke euch!! (Beim nächsten mal poste ich direkt alle Fehlversuche)
Gruß,
schnuri
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Hallo schnuri,
> Hi Loddar,
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> oh mann, du hast recht! Ich habe es vorher schon versucht,
> aber mich einfach verrechnet!!!
>
> Nach dem Quotientenkriterium ist die Reihe konvergent, wenn
> gilt:
> [mm]\red{\lim\limits_{n\to\infty}}\left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right|\red{=q} < 1[/mm]
Du musst den limes betrachten und das muss gegen ein festes q mit q<1 streben !!
>
> Eingesetzt für die Teilsumme
Das QK kannst du auf die "komplette" Reihe anwenden. Das mit den Teilsummen brauchst du nur, wenn du das mit dem Hinweis in der Aufgabenstellung lösen willst, weil du die Abschätzung für die konvergente Majorante (geometr. Reihe) erst für [mm] $k\ge [/mm] 9$ hinbekommst.
[mm]\sum_{k=9}^{\infty} \frac{2^k}{k!} [/mm]:
>
> [mm] \frac{ \frac{2^{k+1}}{(k+1)!} }{ \frac{2^k}{k!} } [/mm] = [mm] \frac{ 2^{k+1} \cdot k! }{ (k+1)! \cdot 2^k } [/mm] = [mm] \frac{ 2^k \cdot 2 \cdot k! }{ k! \cdot (k+1) \cdot 2^k } [/mm] = [mm] \frac{2}{k+1} [/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
[mm] \le \frac{2}{9+1} [/mm] < 1[/mm]
> (da k immer größer gleich 9!)
>
> So ok?
[mm] $\lim\limits_{k\to\infty}\frac{2}{k+1}=0$ [/mm] und 0<1, also Konvergenz
> Ich danke euch!! (Beim nächsten mal poste ich direkt alle
> Fehlversuche)
>
> Gruß,
> schnuri
LG
schachuzipus
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Hallo schnuri,
Angela hat doch schon alle Tipps verraten, die du benötigst 
Du hast die Reihe richtig aufgeteilt in
[mm] $\underbrace{\sum\limits_{k=0}^{8}\frac{2^k}{k!}}_{=:M}+\sum\limits_{k=9}^{\infty}\frac{2^k}{k!}$
[/mm]
Nun gilt es, für die hintere Reihe eine konvergente Majorante zu finden
Nach dem Tipp in der Aufgabenstellung ist [mm] $k!\ge 4^k$ [/mm] für [mm] $k\ge [/mm] 9$
Also [mm] $\frac{1}{k!}\le \frac{1}{4^k}$
[/mm]
Damit ist [mm] $M+\sum\limits_{k=9}^{\infty}\frac{2^k}{k!}\le M+\sum\limits_{k=9}^{\infty}\frac{2^k}{\red{4^k}}=.....$
[/mm]
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:45 So 02.12.2007 | | Autor: | schnuri |
ahhhh, jetzt hab ich auch das verstanden!
Hast schon fast alles hingeschrieben.
Wegen $ [mm] \frac{1}{k!}\le \frac{1}{4^k} [/mm] $ kann ich $ [mm] \sum\limits_{k=9}^{\infty}\frac{2^k}{4^k} [/mm] = [mm] \sum\limits_{k=9}^{\infty} \left( \frac{1}{2} \right)^k [/mm] $ als Majorante nehmen, die auch konvergiert, denn q = 1/2 < 1
Da für alle $ [mm] a_k [/mm] = [mm] \left( \frac{1}{2} \right)^k \ge \frac{2^k}{k!} [/mm] = [mm] \left| b_k \right| [/mm] \ [mm] \forall [/mm] k [mm] \ge [/mm] 9 $ ist die Reihe $ [mm] \sum_{k=9}^{\infty} \frac{2^k}{k!} [/mm] $ nach dem Majorantenkriterium ebenfalls konvergent
So?
Ihr seid echt die Besten!!! *schleim* 
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