Konvergenz einer Reihe < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Zeigen Sie die Konvergenz der Reihe:
[mm] \summe_{n=1}^{\infty} (-1)^{n} \bruch{n}{(n+2)^{2}} [/mm] |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo alle zusammen,
ich habe versucht auf diese Reihe das Leibniz-Kriterium anzuwenden:
1. es handelt sich um eine alternierende Reihe
2. die zugrundeliegende Folge [mm] a_{n} [/mm] = [mm] \bruch{n}{(n+2)^{2}} [/mm] ist wegen [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{n}{(n+2)^{2}} [/mm] = [mm] \bruch{1}{n+4+\bruch{4}{n}} [/mm] = 0 eine Nullfolge.
Ich scheitere aber nun an der Monotonie von [mm] a_{n}, [/mm] da für das Leibniz-Kriterium ja gelten müsste: [mm] a_{n} [/mm] ist eine monoton fallende Folge, was [mm] a_{n} [/mm] in diesem Fall aber leider nicht ist da
[mm] a_{1}=\bruch{1}{9}=0,111
[/mm]
[mm] a_{2}=\bruch{1}{8}=0,125
[/mm]
[mm] a_{3}=\bruch{3}{25}=0,12
[/mm]
Somit ist aber [mm] a_{1}
Habe ich somit gezeigt, dass [mm] a_{n} [/mm] divergent ist, oder hab ich in meiner Logik einen Fehler?
Wäre nett wenn mir hier jemand weiterhelfen könnte!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:31 Di 28.11.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo golfspieler!
Es reicht ja völlig aus, die Monotonie ab einem bestimmten Folgenglied nachzuweisen; in unserem Falle gilt die Monotonie ab dem 5. Glied [mm] $a_5$ [/mm] .
Dein Nachweis der Monotonie kann also mit der Bedingung $n \ [mm] \ge [/mm] \ 5$ geführt werden.
Gruß
Loddar
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Hallo Loddar!
Ich dachte immer dass die Monotonie einer Folge immer für alle n [mm] \in \IN [/mm] gelten muss, so haben wir das zumindest immer gemacht und auch in den Analysis-Büchern die ich zuhause habe steht es so.
Schönen Gruß
golfstudent
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:14 Di 28.11.2006 | | Autor: | dormant |
Hi!
Man kann endlich viele Reihenglieder vernachlässigen. Man kriegt dabei eine neue Reihe raus, deren Wert (wenn er überhaupt existiert) um genau die Summe der vernachlässigten Glieder von dem Wert der ursprünglichen Reihe abweicht.
Eine Reihe, bei der man bei 5 anfängt zu zählen ist auch... eine Reihe. Das ist das schöne an [mm] \IN [/mm] - man kann ja bei irgendeiner (völlig beliebige, aber feste) Zahl das Zählen anfangen :)
Gruß,
dormant
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Vielen Dank für eure Antworten, ihr habt mir sehr geholfen.
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