Konvergenz einer Reihe < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:56 Di 31.10.2006 | | Autor: | citaro |
| Aufgabe | Konvergiert die Reihe
[mm] \summe_{k=1}^{\infty}\bruch{1}{(4k-3)(4k+1)}
[/mm]
Vorgehen: Führe eine Partialbruchzerlegung durch. |
Hallo,
mit der Partialbruchzerlegung hatte ich keine Probleme. Ich bekam als Ergebnis:
[mm] \bruch{\bruch{1}{4}}{4k-3} [/mm] + [mm] \bruch{\bruch{-1}{4}}{4k+1}
[/mm]
Doch wie nun weiter?
Ich würde sagen: Der erste Bruch konvergiert gegen 0, der zweite auch. Also konvergiert alles gegen 0.
Kann man das so sagen? Trotz des "-" vor dem zweiten Bruch?
Danke für Eure Antworten,
viele Grüße
citaro
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fehlerhaft  | | Datum: | 22:56 Di 31.10.2006 | | Autor: | sam |
deine Lösung der Partialbruchzerlegung ist richtig.
Dein Gedankengang, dass das Ganze gegen 0 konvergiert stimmt zwar nach
meiner Meinung aber du kannst das nicht einfach so schreiben.
Das du eine Summe aufspalten kannst habt ihr bestimmt schon behandelt -
erwähne den Satz oder die Axiiome, ich weiß nicht wie ihr das genannt habt.
Dann kannst du sagen, dass z.B. nach den Grenzwertrechenregeln die Summe "xy" für n gegen unendlich (meistens n element N) gegen 0 konvergiert. Daraus kannst du dann folgernen, dass das Ganze gegen 0 konvergiert.
versuche es mal - so müsste es klappen :)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Korrektur) Korrekturmitteilung  | | Datum: | 13:14 Mi 01.11.2006 | | Autor: | ullim |
Hi zusammen,
wenn die einzelnen Summanden der Reihe gegen Null konvergieren bedeutet das nicht, das die Summe oder eine Differenz von Summen gegen Null konvergiert.
In dieser Aufgabe gilt folgendes,
die Partialbruchzerlegung ergibt [mm] \bruch{1}{4}\summe_{i=1}^{\infty}(\bruch{1}{4k-3}-\bruch{1}{4k+1})
[/mm]
das ist gleich zu
[mm] \bruch{1}{4}\limes_{N\rightarrow\infty}(1+\summe_{i=1}^{N-1}\bruch{1}{4k+1}-\summe_{i=1}^{N}\bruch{1}{4k+1}) \Rightarrow
[/mm]
[mm] \bruch{1}{4}\limes_{N\rightarrow\infty}(1-\bruch{1}{4N+1})=\bruch{1}{4} [/mm] weil sich die Summanden gegenseitig aufheben.
mfg ullim
|
|
|
|
