Konvergenz einer Reihe < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:27 So 13.04.2014 | | Autor: | Petrit |
| Aufgabe | Untersuchen Sie die Reihe
[mm] \summe_{k=1}^{\infty}\bruch{(-1)^{k-1}}{kx}
[/mm]
auf punktweise, absolute und gleichmäßige Konvergenz in (0,1]. |
Guten Abend!
Ich habe noch eine Aufgabe und wollte fragen, ob meine Methode so stimmt.
Und zwar habe ich [mm] \bruch{1}{x} [/mm] vor die Summe gezogen und zwar so: [mm] \bruch{1}{x} \summe_{k=1}^{\infty}\bruch{(-1)^{k-1}}{k}, [/mm] um so die Reihe auf Konvergenz zu überprüfen.
Da die Abbildung X [mm] \to [/mm] X im Intervall (0,1] beschränkt ist und die alternierende harmonische Reihe nach dem Leibniz-Kriterium konvergiert, konvergiert die Reihe auch gleichmäßig in (0,1].
[mm] \Rightarrow [/mm] Die Reihe konvergiert auch punktweise!
Kann man das so machen?
Schonmal vielen Dank im Voraus!
Gruß Petrit!
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:38 Mo 14.04.2014 | | Autor: | fred97 |
> Untersuchen Sie die Reihe
>
> [mm]\summe_{k=1}^{\infty}\bruch{(-1)^{k-1}}{kx}[/mm]
>
> auf punktweise, absolute und gleichmäßige Konvergenz in
> (0,1].
> Guten Abend!
>
> Ich habe noch eine Aufgabe und wollte fragen, ob meine
> Methode so stimmt.
> Und zwar habe ich [mm]\bruch{1}{x}[/mm] vor die Summe gezogen und
> zwar so: [mm]\bruch{1}{x} \summe_{k=1}^{\infty}\bruch{(-1)^{k-1}}{k},[/mm]
> um so die Reihe auf Konvergenz zu überprüfen.
> Da die Abbildung X [mm]\to[/mm] X im Intervall (0,1] beschränkt
> ist
Welche Abbildung ????
> und die alternierende harmonische Reihe nach dem
> Leibniz-Kriterium konvergiert, konvergiert die Reihe auch
> gleichmäßig in (0,1].
> [mm]\Rightarrow[/mm] Die Reihe konvergiert auch punktweise!
>
> Kann man das so machen?
Nein !
Wir setzen
$ [mm] s_n:=\summe_{k=1}^{n}\bruch{(-1)^{k-1}}{k} [/mm] $
und
$ [mm] s_n(x):=\summe_{k=1}^{n}\bruch{(-1)^{k-1}}{xk} [/mm] $ für x [mm] \in [/mm] (0,1]
1. Dass die Reihe
$ [mm] \summe_{k=1}^{\infty}\bruch{(-1)^{k-1}}{kx} [/mm] $
für kein x [mm] \in [/mm] (0,1] absolut konvergiert , dürfte klar sein.
2. [mm] (s_n) [/mm] konvergiert gegen ln(2), damit konvergiert [mm] (s_n(x)) [/mm] auf (0,1] punktweise gegen [mm] f(x):=\bruch{ln(2)}{x}.
[/mm]
3. Schau Dir mal die Folge [mm] (s_n(1/n)) [/mm] an. Dann solltest Du feststellen, dass [mm] (s_n(x)) [/mm] , und damit $ [mm] \summe_{k=1}^{\infty}\bruch{(-1)^{k-1}}{kx} [/mm] $, auf (0,1] nicht gleichmäßig konvergiert !
FRED
>
> Schonmal vielen Dank im Voraus!
>
> Gruß Petrit!
>
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:05 Mi 16.04.2014 | | Autor: | Petrit |
Vielen Dank!
Gruß, Petrit!
|
|
|
|
