Konvergenz einer Folge/Reihe < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Es soll die Konvergenz folgender Folge gezeigt werden:
[mm] a_n:=\sum_{k=5}^{n}\left(\frac{1}{k\log(k)}\right)-\log(\log(n))
[/mm]
Hier stehe ich etwas auf dem Schlauch wie ich anfangen soll. Wäre über einen kleinen Stups in die richtige Richtung dankbar.
Was wir momentan in den Sinn kommt, wären:
-Potenzreihe des Logarithmus
-Summe irgendwie mit Integral abschätzen, da log log Stammfunktion.
- Irgendein Konvergenzkriterium? (Satz der monotonen Konvergenz, Cauchy etc.)
Komme bei gar keinem der Ideen auf einen grünen Zweig...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:37 Di 27.05.2014 | | Autor: | YuSul |
Kennst du das Integralvergleichkriterium?
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Das ist doch mal ein Stichwort. Ich versuche mal meine Ideen darzulegen:
[mm] \sum_{k=5}^{n}\left(\frac{1}{k\log(k)}\right)-\log(\log(n))
[/mm]
[mm] \le \int_{4}^{n}\left(\frac{1}{k\log(k)}\right)-\log(\log(n))dk= -\log(\log(4))??
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:57 Di 27.05.2014 | | Autor: | YuSul |
Ich weiß zwar nicht warum du die Untergrenze abänderst, aber ja das sollte korrekt sein. Und da dieses Integral konvergiert konvergiert auch deine Reihe.
Edit: Ich habe nicht gesehen, dass du den ganzen Ausdruck integriert hast. Dann ist deine Stammfunktion nicht korrekt, weil du ja auch noch ln(ln(n)) integrieren müsstest. Schätze aber nur die Summe mit dem Integral ab.
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