Konvergenz einer Folge < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Untersuchen Sie die Folge [mm](a_{n})[/mm] mit [mm]a_{n} = \bruch{n^2+1}{n^2+2n+2}[/mm] auf Konvergenz und bestimmen Sie ggf. den Grenzwert. |
Hallo,
also ich hab so meine Probleme mit der Grenzwertbestimmung und dem Nachweis der Konvergenz, deshalb hab ich mir jetzt mal dazu eine ganz einfache Aufgabe vorgenommen.
Okay, also ich weiß, dass jede monotone und beschränkte Folge konvergent ist. Um nun also die Konvergenz zu zeigen, müsste ich also zunächst Monotonie und Beschränktheit untersuchen.
Monotonie:
Also wenn ich mir die ersten drei Werte anschaue, erhalte ich:
[mm]a_{1} = \bruch{2}{5}[/mm], [mm]a_{2} = \bruch{1}{2}[/mm] und [mm]a_{3} = \bruch{10}{17}[/mm]
Ich vermute also die Folge ist monoton steigend. Wie zeige ich das nun aber?
Setze ich einfach [mm] a_{n} \le a_{n+1} [/mm] und multipliziere das ganze aus und hoffe auf eine wahre Aussage zu kommen oder gibt es auch einen weniger aufwendigen Weg?
Beschränktheit:
Da fehlt mir völlig der Ansatz. Wenn ich das richtig sehe, bräuchte ich ja erstmal eine Vermutung für eine Schranke [mm]S[/mm] um dann zu zeigen, dass [mm]a_{n} \le S[/mm] für alle n. Aber wie komme ich auf eine solche Vermutung? Denk ich mir da einfach eine aus und probiere es oder gibt es da ein System?
Grenzwert:
Der dürfte (sofern er nun existiert) in dem Fall ja problemlos mit Schulkenntnissen ermittelt werden können, indem ich [mm]n^2[/mm] ausklammere und die Grenzwertsätze anwende, oder?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:21 Do 26.03.2009 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Untersuchen Sie die Folge [mm](a_{n})[/mm] mit [mm]a_{n} = \bruch{n^2+1}{n^2+2n+2}[/mm]
> auf Konvergenz und bestimmen Sie ggf. den Grenzwert.
> Hallo,
> also ich hab so meine Probleme mit der Grenzwertbestimmung
> und dem Nachweis der Konvergenz, deshalb hab ich mir jetzt
> mal dazu eine ganz einfache Aufgabe vorgenommen.
>
> Okay, also ich weiß, dass jede monotone und beschränkte
> Folge konvergent ist. Um nun also die Konvergenz zu zeigen,
> müsste ich also zunächst Monotonie und Beschränktheit
> untersuchen.
>
> Monotonie:
> Also wenn ich mir die ersten drei Werte anschaue, erhalte
> ich:
> [mm]a_{1} = \bruch{2}{5}[/mm], [mm]a_{2} = \bruch{1}{2}[/mm] und [mm]a_{3} = \bruch{10}{17}[/mm]
>
> Ich vermute also die Folge ist monoton steigend. Wie zeige
> ich das nun aber?
> Setze ich einfach [mm]a_{n} \le a_{n+1}[/mm] und multipliziere das
> ganze aus und hoffe auf eine wahre Aussage zu kommen oder
> gibt es auch einen weniger aufwendigen Weg?
>
> Beschränktheit:
> Da fehlt mir völlig der Ansatz. Wenn ich das richtig sehe,
> bräuchte ich ja erstmal eine Vermutung für eine Schranke [mm]S[/mm]
> um dann zu zeigen, dass [mm]a_{n} \le S[/mm] für alle n. Aber wie
> komme ich auf eine solche Vermutung? Denk ich mir da
> einfach eine aus und probiere es oder gibt es da ein
> System?
Berechne noch erstmal den Grenzwert $ [mm] \alpha [/mm] $ . Das ist dann ein Kandidat für eine obere Schranke. Dann zeige mal, dass das die kleinste obere Schranke ist.
Und das würde ich per Induktion nach n zeigen, also
[mm] a_{n}<\alpha \forall n\in\IN
[/mm]
>
> Grenzwert:
> Der dürfte (sofern er nun existiert) in dem Fall ja
> problemlos mit Schulkenntnissen ermittelt werden können,
> indem ich [mm]n^2[/mm] ausklammere und die Grenzwertsätze anwende,
> oder?
Yep, das tut es.
[mm] \bruch{n^2+1}{n^2+2n+2}
[/mm]
[mm] =\bruch{n^2(1+\bruch{1}{n²})}{n^2(1+\bruch{2}{n}+\bruch{2}{n})}
[/mm]
[mm] =\bruch{1+\bruch{1}{n²}}{1+\bruch{2}{n}+\bruch{2}{n²}}
[/mm]
Marius
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