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Forum "Folgen und Reihen" - Konvergenz der p-Norm
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Konvergenz der p-Norm: Konvergenzbeweis
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:08 Fr 26.04.2013
Autor: nbt

Aufgabe
Zeigen Sie für [mm]n\in\IN[/mm] und [mm]f\in\IK^n[/mm]:
[mm]\parallel f \parallel_p \to \parallel f \parallel_\infty[/mm] für [mm]p\to\infty[/mm]

Hi,
Ich hab bisher leider nur den Standardansatz:
Zu beweisen ist also: [mm]\forall\epsilon>0\exists q\in\IN\forall p>q: |\parallel f \parallel_p - \parallel f \parallel_\infty|= |(\summe_{i=0}^{\infty}|f(i)|^p)^{\frac{1}{p}}-sup|f(i)||<\epsilon[/mm]
Mein Problem is, dass nicht gegeben ist, ob [mm]f[/mm] aus dem [mm]l^p[/mm] Raum ist oder nicht. Wenn die Summe dann divergieren sollte, seh ich auch ned ganz ein, warum der Abstand der Reihe zum Supremum der einzelnen Folgenglieder [mm]f(i)[/mm] beliebig klein werden kann. Es ist ja nicht gesagt, dass die Folge der f(i)'s selber divergiert.
Wär super, wenn mir jemand einen Denkanstoß gibt.
Danke für die Hilfe,
nbt

        
Bezug
Konvergenz der p-Norm: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:57 Fr 26.04.2013
Autor: schachuzipus

Hallo nbt,

> Zeigen Sie für [mm]n\in\IN[/mm] und [mm]f\in\IK^n[/mm]:
> [mm]\parallel f \parallel_p \to \parallel f \parallel_\infty[/mm]
> für [mm]p\to\infty[/mm]
> Hi,
> Ich hab bisher leider nur den Standardansatz:
> Zu beweisen ist also: [mm]\forall\epsilon>0\exists q\in\IN\forall p>q: |\parallel f \parallel_p - \parallel f \parallel_\infty|= |(\summe_{i=0}^{\infty}|f(i)|^p)^{\frac{1}{p}}-sup|f(i)||<\epsilon[/mm]

>

> Mein Problem is, dass nicht gegeben ist, ob [mm]f[/mm] aus dem [mm]l^p[/mm]
> Raum ist oder nicht. Wenn die Summe dann divergieren
> sollte, seh ich auch ned ganz ein, warum der Abstand der
> Reihe zum Supremum der einzelnen Folgenglieder [mm]f(i)[/mm]
> beliebig klein werden kann. Es ist ja nicht gesagt, dass
> die Folge der f(i)'s selber divergiert.
> Wär super, wenn mir jemand einen Denkanstoß gibt.
> Danke für die Hilfe,

Im [mm]\IK^n[/mm] ist doch die Supremumsnorm auch Maximumnorm, also [mm]||f||_{\infty}=\max\limits_{i=1,..,n}|f_i|[/mm]

Weiter ist [mm]||f||_{\infty}^p\le\sum\limits_{i=1}^n|f_i|^p\le n\cdot{}||f||_{\infty}[/mm]

Wieso? Und hilft dir das weiter?

> nbt

Gruß

schachuzipus

Bezug
                
Bezug
Konvergenz der p-Norm: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 15:12 Sa 27.04.2013
Autor: nbt

Sollte es nicht besser heißen:
[mm]\parallel f \parallel_\infty^p\le\summe_{i=1}^{n}|f(i)|^ p\le n\parallel f \parallel_\infty^p[/mm] also mit einem p in der Potenz auf der rechten Seite?
Dann ergibt auch alles Sinn:
[mm]\parallel f \parallel_\infty^p\le\summe_{i=1}^{n}|f(i)|^ p[/mm]  (*) weil es in der Reihe ein [mm]j\in\IN[/mm] gibt, mit [mm]f(j)=max|f(i)|[/mm]. Durch Potenzieren mit p>0 verändert sich nix. Die anderen Summanden sind auch nur positiv, also ist die erste Ungleichung klar.
Die zweite Ungleichung
[mm]\summe_{i=1}^{n}|f(i)|^ p\le n\parallel f \parallel_\infty^p[/mm]  (**) ergibt auch Sinn weil [mm]n\parallel f\parallel_\infty^p=\summe_{i=1}^{n}(\parallel f\parallel_infty^p)=\summe_{i=1}^{n}(max |f(i)|^p)[/mm] natürlich größer ist als [mm]\summe_{i=1}^{n}|f(i)|^ p[/mm].
Aber die zweite Ungleichung hilft nicht viel, weil n ja unendlich groß ist und damit die Aussage der Ungleichung trivial ist. Die erste Ungleichung hat mir insofern geholfen, als dass man beim Abschätzen die Betragsstriche weglassen kann, da folgt, dass [mm]\summe_{i=1}^{\infty}|f(i)|^p-\parallel f\parallel_\infty^p\ge0\gdw(\summe_{i=1}^{\infty}|f(i)|^p)^{\frac{1}{p}}-\parallel f\parallel_\infty\ge0[/mm].

Bezug
                        
Bezug
Konvergenz der p-Norm: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:35 Sa 27.04.2013
Autor: nbt

Oh mann, hab erst einen Leichtsinnsfehler gemacht, jetz kapier ich Deine Hilfestellung:
[mm]\parallel f\parallel_\infty^p\le\summe_{i=1}^{n}|f(i)|^p\le n\parallel f\parallel_\infty^p \gdw\parallel f\parallel_\infty\le(\summe_{i=1}^{n}|f(i)|^p)^\frac{1}{p}\le n^\frac{1}{p}\parallel f\parallel_\infty \gdw\parallel f\parallel_\infty\le\limes_{p\rightarrow\infty}(\summe_{i=1}^{n}|f(i)|^p)^\frac{1}{p}\le\parallel f\parallel_\infty[/mm].
Vielen Dank!

Bezug
                                
Bezug
Konvergenz der p-Norm: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:15 So 28.04.2013
Autor: fred97


> Oh mann, hab erst einen Leichtsinnsfehler gemacht, jetz
> kapier ich Deine Hilfestellung:
>  [mm]\parallel f\parallel_\infty^p\le\summe_{i=1}^{n}|f(i)|^p\le n\parallel f\parallel_\infty^p \gdw\parallel f\parallel_\infty\le(\summe_{i=1}^{n}|f(i)|^p)^\frac{1}{p}\le n^\frac{1}{p}\parallel f\parallel_\infty \gdw\parallel f\parallel_\infty\le\limes_{p\rightarrow\infty}(\summe_{i=1}^{n}|f(i)|^p)^\frac{1}{p}\le\parallel f\parallel_\infty[/mm].
>  
> Vielen Dank!

Wenn Du aus dem letzten [mm] \gdw [/mm] ein [mm] \Rightarrow [/mm] machst, ist es O.K.

FRED


Bezug
                        
Bezug
Konvergenz der p-Norm: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:20 Mo 29.04.2013
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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