Konvergenz der Reihe < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:29 Sa 18.10.2008 | | Autor: | tinakru |
| Aufgabe | Untersuchen sie folgende Reihe auf Konvergenz für s [mm] \in [/mm] [0, [mm] \infty]
[/mm]
[mm] \summe_{k=1}^{\infty} [/mm] 1/(k*(ln [mm] k)^s) [/mm] |
Hallo zusammen!
Für s = 0 hab ich das selber geschafft.
Aber für s > 0 weiß ich nicht so recht wie ich ansetzen sollte. Ich hab schon zahlreiche Abschätzungen probiert aber nichts hat funktioniert. Vielleicht kann mir jemand mal einen kleinen Hinweis geben, wie ich ran gehen sollte. Danke schon mal!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:02 Sa 18.10.2008 | | Autor: | zahllos |
Hallo,
sollte die Summation nicht besser bei k = 2 beginnen?
Diese Reihe konvergiert genau für s > 1.
Du kannst z.B. den Cauchy'schen Verdichtungssatz anwenden,
d.h. du untersuchst die Konvergenz der Reihe:
[mm] \summe_{k=2}^{\infty} 2^k \bruch{1}{k^2 ( ln 2^k)^s} [/mm] .
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:08 Sa 18.10.2008 | | Autor: | tinakru |
Hallo,
du hast recht, die Summation muss natürlich bei k = 2 beginnen!
Leider sagt mir der Cauchy'sche Verdichtungssatz nichts. Wir haben bisher in der VL nur das Majorantenkriterium, Quotientkriterium, Wurzelkriterium, Leibnitzkriterium und das Cauchy-Kriterium gelernt
Davon hab ich schon alle probiert, bin aber auf keine Lösung gekommen.
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Hallo!
Soweit ich mich entsinnen kann konvergiert folgende Reihe für s>1:
[mm] \summe_{k=1}^{\infty}\bruch{1}{k^{s}}. [/mm] Wenn man damit vernünftig abschätzt könnte es vielleicht behilflich sein.
Grüße Elvis
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:36 So 19.10.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> .
> Hallo,
>
> du hast recht, die Summation muss natürlich bei k = 2
> beginnen!
>
> Leider sagt mir der Cauchy'sche Verdichtungssatz nichts.
> Wir haben bisher in der VL nur das Majorantenkriterium,
> Quotientkriterium, Wurzelkriterium, Leibnitzkriterium und
> das Cauchy-Kriterium gelernt
>
> Davon hab ich schon alle probiert, bin aber auf keine
> Lösung gekommen.
ich biete Dir das "Aufgabensteller-Austrickskriterium" an:
1. Variante:
Satz 6.8 ![[]](/images/popup.gif) in diesem Skript + Beweis kannst Du ja einfach abschreiben und danach benützen. Ich denke, dass es kein Problem für Dich ist, den Beweis nachzuvollziehen.
2. Variante (das sieht hier etwas "klüger" aus, weil man dann eher nicht vermutet, dass Du den Cauchyschen Verdichtungssatz + Beweis geklaut haben könntest):
Der Beweis von Satz 6.8 liefert Dir natürlich insbesondere eine Methode, wie Du bei Deiner Aufgabe mit Deiner speziellen Folge [mm] $(a_k)_{k \in \IN_{>1}}$ [/mm] geeignet abschätzen kannst, so dass das Majorantenkriterium Dir weiterhilft.
Empfehlen würde ich also die 2. Variante, also:
Versuch, den Beweis des Cauchyschen Verdichtungssatz im Detail zu verstehen. Da er etwas allgemeiner gilt, kannst Du die Methode dann benützen, um in Deinem speziellen Fall zum Ergebnis zu kommen. Dafür musst Du Dich natürlich auch davon überzeugen, dass die Folge [mm] $(a_k)_{k \in \IN_{>1}} \equiv \left(\frac{1}{k (\ln(k))^s}\right)_{k \in \IN_{>1}}$ [/mm] für jedes $s [mm] \in [0,\infty[$ [/mm] (für [mm] $s=\infty$ [/mm] sehe ich in der Aufgabe gerade keinen Sinn) monoton fallend ist.
Ich dachte zuerst auch an das Integralkriterium, aber momentan sehe ich da eher einen unsinnigen Umweg, wenn man es benutzen will. Und zwar, indem man zuvor den Cauchyschen Verdichtungssatz anwendet. Wenn man das aber tut, so braucht man das Integralkriterium selbstverständlich wiederum nicht mehr...
Also:
Versuche, die Beweismethode des Cauchyschen Verdichtungssatzes zu verstehen und wende sie danach auf Deine spezielle Folge an.
Gruß,
Marcel
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(Korrektur) kleiner Fehler  | | Datum: | 00:14 So 19.10.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo,
>
> sollte die Summation nicht besser bei k = 2 beginnen?
> Diese Reihe konvergiert genau für s > 1.
> Du kannst z.B. den Cauchy'schen Verdichtungssatz
> anwenden,
> d.h. du untersuchst die Konvergenz der Reihe:
> [mm]\summe_{k=2}^{\infty} 2^k \bruch{1}{\red{k^2} ( ln 2^k)^s}[/mm] .
ist sicher nur 'n Verschreiber:
[mm]\summe_{k=2}^{\infty} 2^k \bruch{1}{\blue{2^k} ( ln 2^k)^s}[/mm]
sollte da oben stehen. Dann wird die Untersuchung der letzten Reihe auch einfacher. 
Gruß,
Marcel
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