Konvergenz bzw. Grenzwert < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:50 Mi 26.10.2011 | | Autor: | unibasel |
| Aufgabe | Zeigen Sie, dass die beiden nachfolgend definierten Folgen konvergieren und berechnen Sie je den Grenzwert.
a) [mm] a_{n}=\wurzel{n^{2}+n}-n
[/mm]
[mm] \forall n\ge1
[/mm]
b) [mm] a_{0}=1 [/mm] und [mm] a_{n+1}=\bruch{a_{n}+2}{a_{n}+1}
[/mm]
[mm] \forall n\in\IN [/mm] |
Ich habe jetzt bei beiden den Grenzwert berechnet:
a)
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{(\wurzel{n^{2}+n}-n)(\wurzel{n^{2}+n}+n)}{\wurzel{n^{2}+n}+n}=\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{n^{2}+n-n^{2}}{\wurzel{n^{2}+n}+n}=\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{n}{\wurzel{n^{2}+n}+n}=\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{1}{\wurzel{1+\bruch{1}{n}}+1}=\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{1}{\wurzel{1}+1}=\bruch{1}{2}
[/mm]
b)
[mm] a_{1}=\bruch{3}{2}; a_{2}=\bruch{7}{5}; a_{3}=\bruch{17}{12}; a_{4}=\bruch{41}{29}; a_{5}=\bruch{99}{70}
[/mm]
etc.
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{a_{n}+2}{a_{n}+1}=1.4142=\wurzel{2}
[/mm]
Stimmt denn das, was ich ausgerechnet habe?
Nun ist aber das eigentliche Problem, dass man zuerst zeigen soll, dass die Folgen konvergent sind und erst dann den Grenzwert ausrechnen soll.
Ich habe gehört, man muss zeigen, dass wenn sie monoton und beschränkt sind, sie konvergieren. (LEIDER VERSTEHE ICH NICHT GANZ, WAS MONOTON UND BESCHRÄNKT IST und wie man das zeigen kann). Stimmt das?
Wie mache ich denn das?
Vielen Dank schon im Voraus für Tipps oder mehr. lg unibasel
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo unibasel,
> Zeigen Sie, dass die beiden nachfolgend definierten Folgen
> konvergieren und berechnen Sie je den Grenzwert.
>
> a) [mm]a_{n}=\wurzel{n^{2}+n}-n[/mm]
> [mm]\forall n\ge1[/mm]
> b) [mm]a_{0}=1[/mm] und
> [mm]a_{n+1}=\bruch{a_{n}+2}{a_{n}+1}[/mm]
> [mm]\forall n\in\IN[/mm]
> Ich habe jetzt bei beiden den Grenzwert
> berechnet:
>
> a)
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{(\wurzel{n^{2}+n}-n)(\wurzel{n^{2}+n}+n)}{\wurzel{n^{2}+n}+n}=\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{n^{2}+n-n^{2}}{\wurzel{n^{2}+n}+n}=\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{n}{\wurzel{n^{2}+n}+n}=\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{1}{\wurzel{1+\bruch{1}{n}}+1}=\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{1}{\wurzel{1}+1}=\bruch{1}{2}[/mm]
Das ist richtig. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> b)
> [mm]a_{1}=\bruch{3}{2}; a_{2}=\bruch{7}{5}; a_{3}=\bruch{17}{12}; a_{4}=\bruch{41}{29}; a_{5}=\bruch{99}{70}[/mm]
>
> etc.
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{a_{n}+2}{a_{n}+1}=1.4142=\wurzel{2}[/mm]
Hier ist der Grenzwert richtig, aber der Weg nicht nachvollziehbar.
Wenn ein Grenzwert a existiert, dann muss gelten:
[mm] a=\bruch{a+2}{a+1}, [/mm] woraus [mm] a=\wurzel{2} [/mm] folgt.
Übrigens ist dieser Grenzwert unabhängig von der Wahl des [mm] a_0, [/mm] sofern allerdings der Nenner nie Null wird. Also sind [mm] a_0=-1,-\tfrac{3}{2}, -\bruch{14}{10},-\bruch{85}{60},\cdots [/mm] auszuschließen. Diese "verbotenen" Werte konvergieren übrigens netterweise gegen [mm] -\wurzel{2}.
[/mm]
> Stimmt denn das, was ich ausgerechnet habe?
s.o.
> Nun ist aber das eigentliche Problem, dass man zuerst
> zeigen soll, dass die Folgen konvergent sind und erst dann
> den Grenzwert ausrechnen soll.
>
> Ich habe gehört, man muss zeigen, dass wenn sie monoton
> und beschränkt sind, sie konvergieren. (LEIDER VERSTEHE
> ICH NICHT GANZ, WAS MONOTON UND BESCHRÄNKT IST und wie man
> das zeigen kann). Stimmt das?
Das gilt für den Absolutbetrag der Folge! (natürlich konvergiert [mm] a_n=(-1)^n\tfrac{1}{n}, [/mm] obwohl die Folge nicht monoton ist.)
Außerdem genügt es für das Kriterium, wenn die Forderung für alle [mm] n>n_0 [/mm] erfüllt ist, egal wie groß dafür [mm] n_0 [/mm] zu wählen ist. Hauptsache, es ist ein fester Wert.
> Wie mache ich denn das?
Dazu müsstet Ihr doch etwas gehabt haben, oder?
Wie man Monotonie zeigt, ist doch recht logisch zu erschließen. Für eine monoton steigende Folge zeige [mm] a_{n+1}\ge a_n, [/mm] für eine monoton fallende Folge [mm] a_{n+1}\le a_n.
[/mm]
Für die Beschränktheit zeige [mm] s_u\le a_n\le s_o [/mm] für alle n, wobei [mm] s_u [/mm] die untere und [mm] s_o [/mm] die obere Schranke sei.
Versuche beides mal mit der ersten Folge. Zeige die fallende Monotonie, die obere Schranke 1 und die untere Schranke 0 (oder, wenn dabei gleich der Grenzwert mit "abfallen" soll, die untere Schranke [mm] \tfrac{1}{2}).
[/mm]
Grüße
reverend
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:38 Mi 26.10.2011 | | Autor: | fred97 |
> Hallo unibasel,
>
> > Zeigen Sie, dass die beiden nachfolgend definierten Folgen
> > konvergieren und berechnen Sie je den Grenzwert.
> >
> > a) [mm]a_{n}=\wurzel{n^{2}+n}-n[/mm]
> > [mm]\forall n\ge1[/mm]
> > b) [mm]a_{0}=1[/mm] und
> > [mm]a_{n+1}=\bruch{a_{n}+2}{a_{n}+1}[/mm]
> > [mm]\forall n\in\IN[/mm]
> > Ich habe jetzt bei beiden den
> Grenzwert
> > berechnet:
> >
> > a)
> >
> >
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{(\wurzel{n^{2}+n}-n)(\wurzel{n^{2}+n}+n)}{\wurzel{n^{2}+n}+n}=\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{n^{2}+n-n^{2}}{\wurzel{n^{2}+n}+n}=\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{n}{\wurzel{n^{2}+n}+n}=\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{1}{\wurzel{1+\bruch{1}{n}}+1}=\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{1}{\wurzel{1}+1}=\bruch{1}{2}[/mm]
>
> Das ist richtig.
>
> > b)
> > [mm]a_{1}=\bruch{3}{2}; a_{2}=\bruch{7}{5}; a_{3}=\bruch{17}{12}; a_{4}=\bruch{41}{29}; a_{5}=\bruch{99}{70}[/mm]
>
> >
> > etc.
> >
> >
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{a_{n}+2}{a_{n}+1}=1.4142=\wurzel{2}[/mm]
>
> Hier ist der Grenzwert richtig, aber der Weg nicht
> nachvollziehbar.
>
> Wenn ein Grenzwert a existiert, dann muss gelten:
> [mm]a=\bruch{a+2}{a+1},[/mm] woraus [mm]a=\wurzel{2}[/mm] folgt.
>
> Übrigens ist dieser Grenzwert unabhängig von der Wahl des
> [mm]a_0,[/mm] sofern allerdings der Nenner nie Null wird. Also sind
> [mm]a_0=-1,-\tfrac{3}{2}, -\bruch{14}{10},-\bruch{85}{60},\cdots[/mm]
> auszuschließen. Diese "verbotenen" Werte konvergieren
> übrigens netterweise gegen [mm]-\wurzel{2}.[/mm]
>
> > Stimmt denn das, was ich ausgerechnet habe?
>
> s.o.
>
> > Nun ist aber das eigentliche Problem, dass man zuerst
> > zeigen soll, dass die Folgen konvergent sind und erst
> dann
> > den Grenzwert ausrechnen soll.
> >
> > Ich habe gehört, man muss zeigen, dass wenn sie monoton
> > und beschränkt sind, sie konvergieren. (LEIDER VERSTEHE
> > ICH NICHT GANZ, WAS MONOTON UND BESCHRÄNKT IST und wie man
> > das zeigen kann). Stimmt das?
>
> Das gilt für den Absolutbetrag der Folge! (natürlich
> konvergiert [mm]a_n=-\tfrac{1}{n},[/mm] obwohl die Folge nicht
> monoton ist.)
Hallo rev,
mit Verlaub, aber die Folge [mm] (-\bruch{1}{n}) [/mm] ist schon ganz schön monoton !
Gruß FRED
> Außerdem genügt es für das Kriterium, wenn die
> Forderung für alle [mm]n>n_0[/mm] erfüllt ist, egal wie groß
> dafür [mm]n_0[/mm] zu wählen ist. Hauptsache, es ist ein fester
> Wert.
>
> > Wie mache ich denn das?
>
> Dazu müsstet Ihr doch etwas gehabt haben, oder?
> Wie man Monotonie zeigt, ist doch recht logisch zu
> erschließen. Für eine monoton steigende Folge zeige
> [mm]a_{n+1}\ge a_n,[/mm] für eine monoton fallende Folge [mm]a_{n+1}\le a_n.[/mm]
>
> Für die Beschränktheit zeige [mm]s_u\le a_n\le s_o[/mm] für alle
> n, wobei [mm]s_u[/mm] die untere und [mm]s_o[/mm] die obere Schranke sei.
>
> Versuche beides mal mit der ersten Folge. Zeige die
> fallende Monotonie, die obere Schranke 1 und die untere
> Schranke 0 (oder, wenn dabei gleich der Grenzwert mit
> "abfallen" soll, die untere Schranke [mm]\tfrac{1}{2}).[/mm]
>
> Grüße
> reverend
>
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:51 Mi 26.10.2011 | | Autor: | reverend |
Hallo Fred,
> > Das gilt für den Absolutbetrag der Folge! (natürlich
> > konvergiert [mm]a_n=-\tfrac{1}{n},[/mm] obwohl die Folge nicht
> > monoton ist.)
>
>
> Hallo rev,
>
> mit Verlaub, aber die Folge [mm](-\bruch{1}{n})[/mm] ist schon ganz
> schön monoton !
Das liegt daran, dass ich nach oben beschränkt bin.
Ok, ich editiere es... Danke fürs Gegenlesen. 
Grüße
rev
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:15 Mi 26.10.2011 | | Autor: | Roadrunner |
Hallo unibasel!
Kleine formale Korrektur ...
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{(\wurzel{n^{2}+n}-n)(\wurzel{n^{2}+n}+n)}{\wurzel{n^{2}+n}+n}=\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{n^{2}+n-n^{2}}{\wurzel{n^{2}+n}+n}=\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{n}{\wurzel{n^{2}+n}+n}=\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{1}{\wurzel{1+\bruch{1}{n}}+1}=\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{1}{\wurzel{1}+1}=\bruch{1}{2}[/mm]
Das letzte [mm] $\lim_{n\rightarrow\infty}$ [/mm] ist zuviel. Da wurde die Grenzwertbetrachtung ja bereits durchgeführt.
Gruß vom
Roadrunner
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