Konvergenz abh von a0 < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:28 Mo 26.04.2010 | | Autor: | yogi_inf |
| Aufgabe | Für welche Werte [mm] a_{0} \in \IR [/mm] konvergiert die rekursiv definierte Folge [mm] (a_{n})
[/mm]
mit [mm] a_{n+1} [/mm] := [mm] \bruch{1}{4} [/mm] * [mm] ((a_{n})^{2}+3)
[/mm]
n [mm] \in \IN [/mm] |
Hallo,
Es geht darum, ein Anfangsglied [mm] a_{0} [/mm] zu bestimmen, so dass die Folge konvergiert.
Durch ausprobieren findet man leicht heraus, dass dies im Bereich [-3,3] der Fall ist.
für [mm] -1
für [mm] 1<=a_{0}<3 [/mm] konvergiert es gegen 1.
analog für [mm] -1<=a_{0}<-3.
[/mm]
für 3 konvergiert es gegen 4
über 3 ist es divergent.
Die Frage ist jetzt, wie formulier ich das mathematisch valide?
Ich seh keinen rechten Ansatz um einen Grenzwert zu bilden mit a0 als variable.
Muss ich da vllt verscuehn die explizite Darstellung in Abhängigkeit von a0 rauszufinden?
Über Hilfe freu ich mich :)
gruß
yogi
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:44 Mo 26.04.2010 | | Autor: | fred97 |
> Für welche Werte [mm]a_{0} \in \IR[/mm] konvergiert die rekursiv
> definierte Folge [mm](a_{n})[/mm]
> mit [mm]a_{n+1}[/mm] := [mm]\bruch{1}{4}[/mm] * [mm]((a_{n})^{2}+3)[/mm]
> n [mm]\in \IN[/mm]
> Hallo,
> Es geht darum, ein Anfangsglied [mm]a_{0}[/mm] zu bestimmen, so
> dass die Folge konvergiert.
>
> Durch ausprobieren findet man leicht heraus, dass dies im
> Bereich [-3,3] der Fall ist.
> für [mm]-1
Das kann nicht sein ! Nehmen wir mal an, dass [mm] (a_n) [/mm] konvergiert. Sei a der Grenzwert von [mm] (a_n). [/mm] Aus der Rekursion folgt:
a = [mm]\bruch{1}{4}[/mm] * [mm](a^{2}+3)[/mm],
also ist a=1 oder a=3
> für [mm]1<=a_{0}<3[/mm] konvergiert es gegen 1.
Beweis ?
> analog für [mm]-1<=a_{0}<-3.[/mm]
> für 3 konvergiert es gegen 4
Nein. Siehe oben
FRED
> über 3 ist es divergent.
>
> Die Frage ist jetzt, wie formulier ich das mathematisch
> valide?
> Ich seh keinen rechten Ansatz um einen Grenzwert zu bilden
> mit a0 als variable.
> Muss ich da vllt verscuehn die explizite Darstellung in
> Abhängigkeit von a0 rauszufinden?
> Über Hilfe freu ich mich :)
> gruß
> yogi
>
|
|
|
|
