Konvergenz (Richtig so?) < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
Hallo,
folgende Aufgabe:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Okay - also Folgen, die Vektoren "liefern" konvergieren ja genau dann, falls alle "Komponenten" des Vektors konvergieren. Richtig? Bedeutet ich muss jede einzelne Folge auf Konvergenz prüfen und falls alle Konvergieren konvergiert die "Vektorfolge".
Zu (a):
[mm] a_{k1} [/mm] = [mm] \frac{2+k^2}{1+2k^2} \to [/mm] 1 (k [mm] \to \infty) [/mm] - einfach durch [mm] k^2 [/mm] teilen und dann sieht man es.
[mm] a_{k2} [/mm] = [mm] \frac{ln(k)}{\wurzel{k}} [/mm] - wie ich bei dieser Folge die Konvergenz überprüfen soll ist mir unklar. Ich denke mal, dass die Folge gegen 0 geht, da [mm] \wurzel{k} [/mm] gegen unendlich geht.
[mm] a_{k3} [/mm] = [mm] \frac{\wurzel{1+k}}{2k}
[/mm]
Bei dieser Folge habe ich versucht die nach unten und oben abzuschätzen:
[mm] \frac{1}{2k} \le \frac{\wurzel{1+k}}{2k} \le [/mm] ???
Mir fehlt da die letzte Abschätzung. :(
zu (b):
[mm] b_{k1} [/mm] = [mm] \frac{(-1)^k}{k} [/mm]
Bei dieser Folge haben die zwei Teilfolgen (gerade k und ungerade k) beide den gleichen Grenzwert - nämlich 0. Daraus folgt, dass dann die Folge gegen 0 geht. Stimmt doch - oder?
[mm] b_{k2} [/mm] = [mm] ln(1+k^{-\frac{1}{3}}) [/mm] = [mm] ln(1+\frac{1}{k^{\frac{1}{3}}}) [/mm]
Dann habe ich argumentiert, dass [mm] \frac{1}{k^{\frac{1}{3}}} [/mm] gegen 0 geht und ln(1) = 0 ist. Richtig so?
[mm] b_{k3} [/mm] = [mm] cos(k\pi+\frac{\pi}{k})
[/mm]
Auf dem Graph sehe ich, dass die Folge divergiert. Ich könnte wieder wie bei [mm] b_{k2} [/mm] argumentieren, dass [mm] \frac{\pi}{k} [/mm] gegen 0 geht und dass [mm] cos(2\pi) [/mm] offensichtlich divergiert. Aber das ist ja nix handfestes...
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:25 Mi 30.04.2008 | | Autor: | fred97 |
die erste Folge konv. gegen 1/2
FRED
|
|
|
|
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
Korrekt genommen kürzt Du aber durch [mm] $k^2$ [/mm] ...
de l'Hospital