Konvergenz Rekursiver Folgen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:10 Sa 20.11.2004 | | Autor: | Faenol |
Hi !
Ich hab ein Problem mit dem Beweis, dass eine rekursive Folge konvergent ist:
[mm] a_{0}=0,a_{1}=1,a_{n}= \bruch{2}{3}a_{n-1}+\bruch{1}{3}a_{n-2}
[/mm]
Ich hab mir das ganze Mal im Funktionsplotter angeschaut, und gesehen, dass der Graph der Folge ab n=5, fast eine Gerade bei ca. 0,75 ist.
Die Folge ist ja weder monton fallend, noch steigend, sondern sie wechselt sich ab. Für gerade n steigt sie, für ungerade fällt sie...
Hab bissle überall im Internet gelesen und gesehen, dass
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}=a_{n}=a{n+1} [/mm] ist.
Bei nicht rekursiven Folgen würd ich ja
[mm] \vmat{ a_{n}-n }< \varepsilon [/mm] machen, aber bei rekursiven komme ich da auf keinen grünen Zweig.
Wie fange ich da an ? Hab schon fleißig gesucht, aber fündig geworden bin ich net, kann mir jemand bitte helfen ?
Faenôl
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:46 Sa 20.11.2004 | | Autor: | Hanno |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
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Hallo Faenol!
Du hast es hier mit einer homogenenen, linearen Rekursion zweiten Grades zu tun. Für solche Rekursionen gibt es Formeln, mit denen du eine explizite Formel für die Glieder $a_n$ herleiten kannst. Diese Formel gebe ich dir mal ohne Kommentar und du rechnest fröhlich drauf los, in Ordnung? Ich habe bereits nachgerechnet, man kommt auf das von dir schon vermutete Ergebnis und die Formel bestätigt auch deine Verwunderung über das abwechselnde Steigen und Fallen.
Hier die Formel (Quelle: Diskrete Strukturen, Angelika Steger - Springer Verlag - Kapitel 4.2: Rekursionsgleichungen, Seite 151)
Sei eine homogene, lineare Rekursion zweiten Grades gegeben:
$x_n=a_1\cdot x_{n-1}+a_2\cdot x_{n-2}$ für alle $n\geq 2$ und $x_1=b_1, x_0=b_0$,
wobei $a_1$ und $a_2$ nicht beide gleich Null sein sollen. Weiter seien $\alpha$ und $\beta$ zwei reelle Lösungen der Gleichung $t^2-a_1\cdot t-a_2=0$ und
$A:=\left \{ \begin{array}{cc}{\frac{b_1-b_0\cdot\beta}{\alpha-\beta}, & \mbox{ wenn }\alpha\not= \beta,\\ \frac{b_1-\alpha\cdot b_0}{\alpha}, & \mbox{ wenn }\alpha=\beta,}\end{array}\right \quad B:=\left \{ \begin{array}{cc}{\frac{b_1-b_0\cdot\alpha}{\alpha-\beta}, & \mbox{ wenn }\alpha\not= \beta,\\ b_0, & \mbox{ wenn }\alpha=\beta,}\end{array}\right $.
Dann gilt
$x_n=\left \{ \begin{array}{cc} A\cdot \alpha^n-B\cdot\beta^n, & \mbox{ wenn }\alpha\not=\beta, \\ (A\cdot n+B)\cdot \alpha^n, & \mbox{ wenn } \alpha=\beta \end{array} \right$
So, nun viel Erfolg!
Liebe Grüße,
Hanno
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:09 So 21.11.2004 | | Autor: | Faenol |
Hi !
Danke erstmal, für die "Umrechnungsformel".
HMM, aber so ganz schaff ich's dann net:
Nun hab ich ja die Folge:
[mm] x_{n}= \bruch{3}{4}(1^{n}-( \bruch{-1}{3})^n)
[/mm]
Die Aufgabe ist ja, zeigen sie dass die Folge konvergiert.
Jetzt hatte ich mit Cauchy angefangen:
[mm] \vmat{ x_{n+1}-x_{n}}=...... [/mm]
Naja, nach Umformen, kam ich dann auf
[mm] \vmat{ (\bruch{-1}{3})^n} [/mm] und das ist ja [mm] <\bruch{1}{n}< \varepsilon
[/mm]
und (hab 2 mal gerechnet, dieser Weg war bissle mit Abschätzen)
[mm] \vmat{ x_{n+1}+x_{n}} \le \bruch{1}{3^{n}}
Nach Definiton hab ich doch nun bewiesen, dass es eine Cauchy folge ist, oder ? Ist doch damit die Konvergenz gezeigt ?
2. Überlegung: Was ist mit logisch Argumentieren ?
[mm] x_{n}= \bruch{3}{4}(1^{n}-( \bruch{-1}{3})^n)
[/mm]
wenn n gegen unendlich, konvergiert [mm] 1^{n} [/mm] gegen 1.
[mm] \bruch{-1}{3})^n [/mm]
Beispiele: [mm] \bruch{1}{9}, \bruch{-1}{27}, \bruch{1}{81}, \bruch{-1}{243}
[/mm]
gegen 0:
Also konvergiert das ganze gegen bruch{3}{4} oder ?
Und damit konvergiert es auch !
Ich hab hier irgendwie paar Probleme mit der Epsilontik, sorry !
Bitte hier noch mal unter die Arme greifen ?
Faenôl
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:40 So 21.11.2004 | | Autor: | Hanno |
Hi Faenol!
> Nun hab ich ja die Folge:
> $ [mm] x_{n}= \bruch{3}{4}(1^{n}-( \bruch{-1}{3})^n) [/mm] $
Ja, das ist richtig! ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Ich hab hier irgendwie paar Probleme mit der Epsilontik, sorry !
Um zu beweisen, dass diese Folge konvergiert, kannst du eine elementare Definition der Konvergenz anwenden:
Eine Folge [mm] $(a_n)$ [/mm] konvergiert genau dann gegen a, wenn es zu jedem [mm] $\epsilon\in \IR, \epsilon>0$ [/mm] ein [mm] $n_0$ [/mm] so gibt, dass [mm] $|a_n-a|<\epsilon$ [/mm] für alle [mm] $n\geq n_0$.
[/mm]
Wir vermuten, dass [mm] $(x_n)$ [/mm] gegen [mm] $\frac{3}{4}$ [/mm] konvergiert, es gilt also folgendes zu zeigen:
[mm] $\forall\epsilon\IR, \epsilon>0: \vmat{\frac{3}{4}\cdot\left( 1-\left( \frac{-1}{3} \right) ^n \right)-\frac{3}{4}}<\epsilon$
[/mm]
[mm] $\gdw \vmat{\frac{3}{4}\cdot\left( 1-\left( \frac{-1}{3} \right) ^n - 1 \right) }<\epsilon$
[/mm]
[mm] $\gdw \vmat{\frac{3}{4}\cdot\left( -\left( \frac{-1}{3}\right) ^n \right) } <\epsilon$
[/mm]
[mm] $\gdw \frac{1}{4\cdot 3^n}<\frac{1}{n}< \epsilon$
[/mm]
Nach dem Satz des Eudoxos gibt es zu jedem Epsilon ein n, sodass [mm] $\frac{1}{n}<\epsilon$ [/mm] ist. Damit ist bewiesen, dass die Folge [mm] $(x_n)$ [/mm] gegen [mm] $\frac{3}{4}$ [/mm] konvergiert.
So hätte ich das gemacht - geht sicher auch schneller, aber erstens wollte ich es ein wenig ausführlicher und klarer machen und zweitens kenne ich mich mit der Konvergenz von Folgen noch nicht allzu gut aus. Ich hoffe, ich konnte dir damit trotzdem helfen.
Liebe Grüße,
Hanno
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(Frage) für Interessierte  | | Datum: | 19:40 So 21.11.2004 | | Autor: | Faenol |
Hi !
Danke m00xi !
Ja, genau hier hat es glaub ich gehappert.
Ich dachte bisher, dass man irgendwie [mm] |a_{n}-a| [/mm] < [mm] \varepsilon
[/mm]
so umformen könnte, dass man irgendwie sieht, (durch Formel), wie der Grenz wert aussieht. Und ich kannte halt das ganze aus der Schule nur als Überprüfung ob es ein Grenzwert ist...
Wenn man natürlich den Grenzwert vermutet, dann ist's ja kein Problem !
Danke aber dennoch, dass du es so auführlich hingeschrieben hast ! *g*
Ich denke, man könnte das auch logisch formulieren, aber so passts ja auch !
Hmm, du hast nicht zufällig noch ne Expliziten Umformung für
[mm] a_{n}=0; a_{n+1}= \wurzel{1+a_{n}} [/mm] ?
Google findet das nichts..
Ansonsten mach ich das mit Monotonie und Beschränkung..
Danke
Faenôl
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:30 Di 23.11.2004 | | Autor: | Faenol |
Hi!
Hat sich erledigt, obwohl, aus reinem Interesse würd ich eine Umwandlungsformel einer rekursiven Wurzel Folge doch mal sehen ! *g*
Aber wie gesagt, eilt net !
Faenôl
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 16:16 Sa 15.11.2008 | | Autor: | boemer |
| Aufgabe | Hallo - ich soll für oben genannte, rekursiv gebildete Folge zeigen, dass sie konvergiert und den Grenzwert angeben.
Allerdings sind die STARTWERTE der Folge [mm] a_0=a [/mm] und [mm] a_1=b [/mm] |
Mein Problem:
Das [mm] a_n [/mm] konvergiert habe ich, denke ich, schon bewiesen.
(Ich habe gezeigt, dass die Differenz zweier aufeinanderfolgender Folgenglieder gegen 0 geht. Dann muss doch auch die Folge konvergieren, oder? Liege ich richtig, damit, sie als Cauchy-Folge zu bezeichnen?)
Mein eigentliches Problem ist es jetzt, den Grenzwert zu finden. Kann mir jemand nen Tipp geben?
(Evtl. mit Intervallschachtelung?)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:20 Sa 22.11.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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