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| Aufgabe | Konvergieren volgende Reihen?
b) [mm] \summe_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}*\bruch{n-1}{n+1}
[/mm]
c) [mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{2^{n-1}}{3^{n}+1} [/mm] |
Hallo zusammen
zu b:
Soweit bin ich:
Ist eine alternierende Reihe.
[mm] a_{n} [/mm] geht jedoch nicht gegen 0 sondern gegen 1.
Nach Leibnitz muss ja gelten: [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} a_{n}=0
[/mm]
Darf ich jetzt schon daraus schliessen, dass die Reihe divergiert oder muss ich weitere Überlegungen anstellen?
zu c: [mm] a_{n} [/mm] geht hier gegen 0. Das heisst, sie könnte konvergent sein. Muss aber nicht!?
Jetzt würde ich sie gerne mit einer mir bekannten Reihe die Konvergiert vergliechen. Also zb. [mm] \bruch{1}{n} [/mm] oder [mm] \bruch{1}{n^{2}}
[/mm]
komme aber so nicht weiter.
Edit: Öh, hat es etwas mit der Geometrischen Reihe auf sich, die hat ja das n auch im Exponent...?
Würde mich über Anregungen und oder Gedankenstützen freuen
mfg Tobi
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:07 Mo 15.09.2008 | | Autor: | fred97 |
> Konvergieren volgende Reihen?
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> b) [mm]\summe_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}*\bruch{n-1}{n+1}[/mm]
>
> c) [mm]\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{2^{n-1}}{3^{n}+1}[/mm]
> Hallo zusammen
>
> zu b:
> Soweit bin ich:
> Ist eine alternierende Reihe.
> [mm]a_{n}[/mm] geht jedoch nicht gegen 0 sondern gegen 1.
So ist es, d.h. die Reihe ist divergent, denn bei einer konvergeb´nten Reihe strebt die Folge der Reihenglieder gegen 0.
> Nach Leibnitz muss ja gelten: [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} a_{n}=0[/mm]
???? Gar nichts muß "nach Leibniz gelten" ! Das Leibniz -Krit. sagt:
wenn die Folge der Reihenglieder die und die Eigenschaft hat, dann ..........
Schau es Dir nochmal an.
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> Darf ich jetzt schon daraus schliessen, dass die Reihe
> divergiert oder muss ich weitere Überlegungen anstellen?
>
> zu c: [mm]a_{n}[/mm] geht hier gegen 0. Das heisst, sie könnte
> konvergent sein. Muss aber nicht!?
> Jetzt würde ich sie gerne mit einer mir bekannten Reihe
> die Konvergiert vergliechen. Also zb. [mm]\bruch{1}{n}[/mm] oder
> [mm]\bruch{1}{n^{2}}[/mm]
Vergleiche doch mit der Reihe mit den [mm] \bruch{2^{n-1}}{3^{n}} [/mm] Gliedern
geometrische Reihe !
FRED
> komme aber so nicht weiter.
>
> Würde mich über Anregungen und oder Gedankenstützen freuen
>
> mfg Tobi
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Servus
Das mit der Geometrischen Reihe hatte ich auch noch bemerkt, doch du warst wohl schon am Antworte, wo ich Frage etditiert habe...
so, trotzem komme ich noch nicht weiter, Vergleichen ok, aber wie. die Geometrische Reihe hat die Form [mm] \bruch{1-x^{n+1}}{1-x}. [/mm] Soll ich jetz meinen ausdruck durch umformen etc. auf diese Schreibweise bringen? neh, ned wirklich... *qualm
bei Grossen n könnte ich sagen, dass die +1 im Nenner nicht mehr ins gewicht fällt. huarg,
nö, komme grade nicht weiter ...
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Hallo little_doc,
> Servus
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> Das mit der Geometrischen Reihe hatte ich auch noch
> bemerkt, doch du warst wohl schon am Antworte, wo ich Frage
> etditiert habe...
>
> so, trotzem komme ich noch nicht weiter, Vergleichen ok,
> aber wie. die Geometrische Reihe hat die Form
> [mm]\bruch{1-x^{n+1}}{1-x}.[/mm] ![[kopfkratz3]](/images/smileys/kopfkratz3.gif "[kopfkratz3]")
Das ist der Wert der endlichen geometrischen Summe [mm] $\sum\limits_{k=0}^{n}x^k$
[/mm]
> Soll ich jetz meinen ausdruck durch
> umformen etc. auf diese Schreibweise bringen? neh, ned
> wirklich... *qualm
>
> bei Grossen n könnte ich sagen, dass die +1 im Nenner nicht
> mehr ins gewicht fällt. huarg,
>
> nö, komme grade nicht weiter ...
>
Eine geometrische Reihe ist von der Form [mm] $\sum\limits_{n=0}^{\infty}q^n$, [/mm] die für $|q|<1$ konvergent ist
Versuche also deinen Ausdruck [mm] $\frac{2^{n-1}}{3^n+1}$ [/mm] nach oben abzuschätzen, um mit einer geometrischen Reihe eine konvergente Majorante zu finden.
Dazu ist deine Überlegung von oben mit der +1 im Nenner schon mal ein guter Ansatz.
Zum Anfangen:
Es ist [mm] $\frac{2^{n-1}}{3^n+1}<\frac{2^{n-1}}{3^n}$
[/mm]
Von hier aus kommst du bestimmt weiter ...
Versuche, das umzuformen, so dass du die Form [mm] $q^n$ [/mm] bekommst ...
LG
schachuzipus
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Servus
daran bin ich eben gescheitert und habs dann als "vermeindlich falscher" Ansatz wieder verworfen.
meine weder basis noch exponent sind gleich. ich kann weder den Exponnenten ausklammern noch die Basen zusammennehmen irgendwie.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:09 Mo 15.09.2008 | | Autor: | fred97 |
[mm] \frac{2^{n-1}}{3^n} [/mm] = (1/3)* [mm] \frac{2^{n-1}}{3^{n-1}} [/mm] = [mm] (1/3)*(2/3)^{n-1}
[/mm]
FRED
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> [mm]\frac{2^{n-1}}{3^n}[/mm] = (1/3)* [mm]\frac{2^{n-1}}{3^{n-1}}[/mm] =
> [mm](1/3)*(2/3)^{n-1}[/mm]
[mm] (1/3)*(2/3)^{n-1}
[/mm]
also darf ich auch schreiben. [mm] (3/2)*(1/3)*(2/3)^{n}?
[/mm]
Dann wäre das: [mm] (1/2)*(2/3)^{n}
[/mm]
die 1/2 als konstante darf ich vor das Summenzeichen schreiben, bleibt [mm] (2/3)^{n} [/mm] und 2/3 sind kleiner 1 --> konvergent.
und weil [mm] \frac{2^{n-1}}{3^n+1}<\frac{2^{n-1}}{3^n} [/mm] konvergiert auch meine Reihe..??
Passt das so?
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Hallo nochmal,
> > [mm]\frac{2^{n-1}}{3^n}[/mm] = (1/3)* [mm]\frac{2^{n-1}}{3^{n-1}}[/mm] =
> > [mm](1/3)*(2/3)^{n-1}[/mm]
>
> [mm](1/3)*(2/3)^{n-1}[/mm]
>
> also darf ich auch schreiben. [mm](3/2)*(1/3)*(2/3)^{n}?[/mm]
>
> Dann wäre das: [mm](1/2)*(2/3)^{n}[/mm] ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
>
> die 1/2 als konstante darf ich vor das Summenzeichen
> schreiben , bleibt [mm](2/3)^{n}[/mm] und 2/3 sind kleiner 1 -->
> konvergent.
>
> und weil [mm]\frac{2^{n-1}}{3^n+1}<\frac{2^{n-1}}{3^n}[/mm]
> konvergiert auch meine Reihe..??
>
> Passt das so?
Ja, aufschreiben würde ich es so:
[mm] $\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{2^{n-1}}{3^n+1}<\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{2^{n-1}}{3^n}=\frac{1}{2}\cdot{}\sum\limits_{n=0}^{\infty}\left(\frac{2}{3}\right)^n$
[/mm]
Damit hast du nun deine konvergente Majorante zu deiner Ausgangsreihe, wenn du magst, kannst du sogar noch den Wert [mm] $\frac{1}{2}\cdot{}\sum\limits_{n=0}^{\infty}\left(\frac{2}{3}\right)^n$ [/mm] berechnen und kannst damit sagen, dass der GW deiner Ausgangsreihe bzw. der Reihenwert auf jeden Fall kleiner ist.
LG
schachuzipus
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Hallo liebe Helfer
ganz Herzlichen Dank
> Damit hast du nun deine konvergente Majorante zu deiner
> Ausgangsreihe, wenn du magst, kannst du sogar noch den Wert
> [mm]\frac{1}{2}\cdot{}\sum\limits_{n=0}^{\infty}\left(\frac{2}{3}\right)^n[/mm]
> berechnen und kannst damit sagen, dass der GW deiner
> Ausgangsreihe bzw. der Reihenwert auf jeden Fall kleiner
> ist.
(Nur noch aus reiner Neugrier und falls jemand Lust hat:)!
Dass man den Berechnen kann, wurde heute werwähnt, jedoch noch nicht weiter besprochen.
Habe im Script aber das gefunden:
Die geomentrische Reihe konvergierg genau dann, wenn ....... . Ihre Summe beträgt dann [mm] \bruch{1}{1-x}
[/mm]
wäre der GW dann: [mm] \bruch{1}{1-\bruch{2}{3}}*\bruch{1}{2}
[/mm]
lg
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:01 Mo 15.09.2008 | | Autor: | fred97 |
So ist es
FRED
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:15 Mo 15.09.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo liebe Helfer
>
> ganz Herzlichen Dank
>
> > Damit hast du nun deine konvergente Majorante zu deiner
> > Ausgangsreihe, wenn du magst, kannst du sogar noch den Wert
> >
> [mm]\frac{1}{2}\cdot{}\sum\limits_{n=0}^{\infty}\left(\frac{2}{3}\right)^n[/mm]
> > berechnen und kannst damit sagen, dass der GW deiner
> > Ausgangsreihe bzw. der Reihenwert auf jeden Fall kleiner
> > ist.
>
> (Nur noch aus reiner Neugrier und falls jemand Lust hat:)!
>
> Dass man den Berechnen kann, wurde heute werwähnt, jedoch
> noch nicht weiter besprochen.
das erkläre ich Dir auch noch gerne schnell:
Setze [mm] $s_n=s_n(q):=\sum_{k=0}^n q^k$. [/mm] Dann ist [mm] $\blue{q*s_n}=q*\sum_{k=0}^n q^k=\sum_{k=0}^n q^{k+1}=\sum_{m=1}^{n+1} q^m=s_{n+1}-1\blue{=q^{n+1}+s_n-1}$, [/mm] also:
[mm] $s_n*(1-q)=1-q^{n+1}$
[/mm]
Im Falle $q [mm] \not=1$ [/mm] kannst Du das durch $1-q$ dividieren und erhältst
[mm] $s_n=\frac{1-q^{n+1}}{1-q}$
[/mm]
Den Wert Deiner Reihe ergibt sich bei $n [mm] \to \infty$, [/mm] und wenn Du im Falle [mm] $\black{|q|<1}$ [/mm] beachtest, dass [mm] $q^n \to [/mm] 0$ (und damit auch [mm] $q^{n+1}=q*q^n \to [/mm] 0$ bei $n [mm] \to \infty$), [/mm] so ergibt sich:
[mm] $\sum_{k=0}^\infty q^k=\lim_{n \to \infty} \sum_{k=0}^n q^k=\lim_{n \to \infty} s_n=\lim_{n \to \infty}\frac{1-q^{n+1}}{1-q}=\frac{\lim_{n \to \infty}(1-q^{n+1})}{1-q}=\frac{1-\lim_{n \to \infty} q^{n+1}}{1-q}=\frac{1-0}{1-q}=\frac{1}{1-q}.$
[/mm]
Und ergänzend:
Dass für [mm] $\black{|q|}<1$ [/mm] gilt, dass [mm] $q^{n} \to [/mm] 0$ bei $n [mm] \to \infty$, [/mm] ergibt sich, wenn Du dann beachtest, dass [mm] $\left|\frac{1}{q}\right| [/mm] > 1$, also Du kannst schreiben: [mm] $\left|\frac{1}{q}\right|=1+r$ [/mm] mit einem $r > 0$.
Damit gilt dann:
[mm] $\left|\frac{1}{q}\right|^n=(1+r)^n$ [/mm] und mit Bernoulli erkennt man dann:
[mm] $\left|\frac{1}{q}\right|^n=\frac{1}{|q|^n} \to \infty$ [/mm] bei $n [mm] \to \infty$.
[/mm]
(Nach Bernoulli gilt ja [mm] $(1+r)^n \ge [/mm] 1+n*r$ und $1+n*r [mm] \to \infty$ [/mm] ist trivial bei $n [mm] \to \infty$ [/mm] (beachte, dass $r > 0$).)
Das liefert dann
[mm] $|q|^n=\frac{1}{\frac{1}{|q|^n}} \to [/mm] 0$, also [mm] $|q|^n=|q^n| \to [/mm] 0$ und damit [mm] $q^n \to [/mm] 0$.
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:17 Mo 15.09.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
alternativ zu Freds Rechnung:
[mm] $\frac{2^{n-1}}{3^n}=\frac{1}{2}*2*\frac{2^{n-1}}{3^n}=\frac{1}{2}*\left(\frac{2}{3}\right)^n$
[/mm]
Das ganze ist zwar nicht sonderlich wichtig, ob Du meine oder Freds Rechnung benutzt, aber es kann sein, dass eine der beiden Formen in dem Sinne (minimal) besser ist, wenn man Indexverschiebungen vermeiden will (wobei die ja auch oft eher den Sinn haben, dass man mit deren Hilfe dann einen besseren Überblick hat).
Und natürlich könnte man auch bei Fred notfalls benutzen, dass [mm] $k*\left(\frac{2}{3}\right)^{n-1}=\frac{3}{2}k*\left(\frac{2}{3}\right)^n$ [/mm] ist...
Gruß,
Marcel
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