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Hallo! :)
Also folgendes Problem:
Untersuchen Sie die folgende Reihe auf Konvergenz:
[mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{(n+1)^{n-1}}{(-n)^n}
[/mm]
Muss ich hier das Quotientenkriterium brauchen um es zu lösen, oder gibt es andere Wege?
Vielen lieben Dank!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:10 Mi 05.02.2014 | | Autor: | Sax |
Hi,
du kannst hier auch das Leibniz-Kriterium anwenden.
Gruß Sax.
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Hallo Sax
Ah du meinst so:
[mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{(n+1)^{n-1}}{(-n)^n}=\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{(n+1)^{n-1}}{(-1)^n*(n)^n}
[/mm]
Via Leibniz: [mm] a_n=\bruch{(n+1)^{n-1}}{n^n}
[/mm]
1) [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} a_n=0
[/mm]
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{(n+1)^{n-1}}{n^n}=\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{(n+1)^n}{n^n*(n+1)}=\limes_{n\rightarrow\infty} (\bruch{(n+1)}{n})^n*\bruch{1}{n+1}=\limes_{n\rightarrow\infty} (1+\bruch{1}{n})^n [/mm] * [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1}{n+1}=e*0 [/mm] = 0
2) z.z. [mm] a_n [/mm] ist monoton fallend.
Wie kann ich das nun zeigen?
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Hallo Babybel,
das sieht doch weitestgehend gut aus.
> Ah du meinst so:
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{(n+1)^{n-1}}{(-n)^n}=\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{(n+1)^{n-1}}{(-1)^n*(n)^n}[/mm]
Hier lohnt es sich vielleicht noch, die (-1) "nach oben" zu holen, dann ist es noch deutlicher. Nötig ist es nicht.
> Via Leibniz: [mm]a_n=\bruch{(n+1)^{n-1}}{n^n}[/mm]
> 1) [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} a_n=0[/mm]
Hmpf. Das willst Du doch jetzt gerade erst zeigen.
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{(n+1)^{n-1}}{n^n}=\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{(n+1)^n}{n^n*(n+1)}=\limes_{n\rightarrow\infty} (\bruch{(n+1)}{n})^n*\bruch{1}{n+1}=\limes_{n\rightarrow\infty} (1+\bruch{1}{n})^n[/mm]
> * [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1}{n+1}=e*0[/mm] = 0
Ja, super. Stimmt alles. Jetzt noch das Fazit von oben.
> 2) z.z. [mm]a_n[/mm] ist monoton fallend.
> Wie kann ich das nun zeigen?
Na, wie zeigt man Monotonie? Vergleiche zwei aufeinander folgende Folgenglieder.
Offensichtlich kannst Du das selbst. Dann mach es doch auch. 
Grüße
reverend
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Hallo reverend
So also, habe jetzt monoton fallend wie folgt gezeigt:
z.z. [mm] a_n\ge a_{n+1}
[/mm]
[mm] \bruch{(n+1)^n}{n^n(n+1)}\ge \bruch{(n+2)^{n+1}}{(n+1)^{n+1}*(n+2)} [/mm]
[mm] \bruch{(n+1)^n}{n^n*(n+1)} \ge \bruch{(n+2)*(n+2)^{n}}{(n+1)(n+1)^{n}*(n+2)} [/mm] (Hier kann ich (n+1) & (n+2) kürzen)
[mm] (1+\bruch{1}{n})^n\ge (\bruch{(n+1-1)}{n+1}+\bruch{2}{n+1})^n
[/mm]
[mm] (1+\bruch{1}{n})^n\ge (1-\bruch{1}{n+1}+\bruch{2}{n+1})^n [/mm]
[mm] (1+\bruch{1}{n})^n\ge (1+\bruch{1}{n+1})^n [/mm] OK für [mm] n\ge [/mm] 1
Stimmt das so? Ich find das immer ziemlich aufwändig so etwas zu zeigen....
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Hallo,
> Hallo reverend
>
> So also, habe jetzt monoton fallend wie folgt gezeigt:
> z.z. [mm]a_n\ge a_{n+1}[/mm]
> [mm]\bruch{(n+1)^n}{n^n(n+1)}\ge \bruch{(n+2)^{n+1}}{(n+1)^{n+1}*(n+2)}[/mm]
> [mm]\bruch{(n+1)^n}{n^n*(n+1)} \ge \bruch{(n+2)*(n+2)^{n}}{(n+1)(n+1)^{n}*(n+2)}[/mm]
> (Hier kann ich (n+1) & (n+2) kürzen)
> [mm](1+\bruch{1}{n})^n\ge (\bruch{(n+1-1)}{n+1}+\bruch{2}{n+1})^n[/mm]
>
> [mm](1+\bruch{1}{n})^n\ge (1-\bruch{1}{n+1}+\bruch{2}{n+1})^n[/mm]
> [mm](1+\bruch{1}{n})^n\ge (1+\bruch{1}{n+1})^n[/mm] OK für [mm]n\ge[/mm]
> 1
>
> Stimmt das so?
Das passt! ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Ich find das immer ziemlich aufwändig so
> etwas zu zeigen....
Ich habe gerade
[mm] \left|\bruch{a_{n+1}}{a_n}\right|\le{1}
[/mm]
nachgerechnet, das ist m.A. nach ein wenig einfacher. Aber viel gibt es sich dann auch wiederum nicht.
Gruß, Diophant
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:33 Do 06.02.2014 | | Autor: | Sax |
Hi,
>
> Ich habe gerade
>
> [mm]\left|\bruch{a_{n+1}}{a_n}\right|\le{1}[/mm]
>
> nachgerechnet, das ist m.A. nach ein wenig einfacher. Aber
> viel gibt es sich dann auch wiederum nicht.
Daraus folgt aber zunächst mal nichts.
Gruß Sax.
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