Konvergenz Reihe < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:37 Mi 23.03.2011 | | Autor: | Loriot95 |
| Aufgabe | Man untersuche für alle z [mm] \in \IC \backslash \{-1\} [/mm] die Reihe
[mm] \summe_{n=1}^{\infty} n*\bruch{z^{n}}{(1+z)^{n}}
[/mm]
auf Konvergenz und absolute Konvergenz und man skizziere die Menge
[mm] \{z \in \IC \backslash \{-1\} |
\summe_{n=1}^{\infty} n*\bruch{z^{n}}{(1+z)^{n}} konvergiert absolut\} [/mm] . |
Guten Tag,
Komme bei dieser Aufgabe nicht weiter.Habe hier mit dem Quotientenkriterium gearbeitet.
Also: [mm] |\bruch{(n+1)}{(1+z)^{n+1}}* \bruch{(1+z)^{n}}{n} [/mm] |
= | [mm] \bruch{n(1+\bruch{1}{n})}{n(1+z)} [/mm] | = | [mm] \bruch{1+\bruch{1}{n}}{1+z}|. [/mm]
Also ist r = |1+z|. Ist das so richtig? Muss ich nun zwischen |z| < |1+z| und |z| > |1+z| unterscheiden?
LG Loriot95
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:50 Mi 23.03.2011 | | Autor: | fred97 |
> Man untersuche für alle z [mm]\in \IC \backslash \{-1\}[/mm] die
> Reihe
>
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty} n*\bruch{z^{n}}{(1+z)^{n}}[/mm]
>
> auf Konvergenz und absolute Konvergenz und man skizziere
> die Menge
>
> [mm]\{z \in \IC \backslash \{-1\} |
\summe_{n=1}^{\infty} n*\bruch{z^{n}}{(1+z)^{n}} konvergiert absolut\}[/mm]
> .
> Guten Tag,
>
> Komme bei dieser Aufgabe nicht weiter.Habe hier mit dem
> Quotientenkriterium gearbeitet.
> Also: [mm]|\bruch{(n+1)}{(1+z)^{n+1}}* \bruch{(1+z)^{n}}{n}[/mm] |
> = | [mm]\bruch{n(1+\bruch{1}{n})}{n(1+z)}[/mm] | = |
> [mm]\bruch{1+\bruch{1}{n}}{1+z}|.[/mm]
>
> Also ist r = |1+z|. Ist das so richtig?
Ich kann mir schon denken warum Du r schreibst. Du denkst an "Konvergenzradius". Stimmts ? Aber das ist hier fehl am Platze ! Die vorgelegte Reihe ist zwar eine Funktionenreihe aber keine Potenzreihe !!
> Muss ich nun
> zwischen |z| < |1+z| und |z| > |1+z| unterscheiden?
Nein.
Du bekommst doch: [mm] $|\bruch{(n+1)}{(1+z)^{n+1}}\cdot{} \bruch{(1+z)^{n}}{n} [/mm] | [mm] \to \bruch{1}{|1+z|}$ [/mm]
Edit: obiges stimmt nicht. Siehe Beitrag von kamaleonti.
Mit dem QK bedeutet dies:
1. ist [mm] \bruch{1}{|1+z|}<1, [/mm] so konv. die Reihe absolut. Es ist [mm] \bruch{1}{|1+z|}<1 \gdw [/mm] |1+z|>1
2. ist [mm] \bruch{1}{|1+z|}>1, [/mm] so div. die Reihe . Es ist [mm] \bruch{1}{|1+z|}>1 \gdw [/mm] |1+z|<1
So, nun untersuche Du den Fall |1+z|=1.
FRED
>
> LG Loriot95
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:10 Mi 23.03.2011 | | Autor: | Loriot95 |
> > Man untersuche für alle z [mm]\in \IC \backslash \{-1\}[/mm] die
> > Reihe
> >
> > [mm]\summe_{n=1}^{\infty} n*\bruch{z^{n}}{(1+z)^{n}}[/mm]
> >
> > auf Konvergenz und absolute Konvergenz und man skizziere
> > die Menge
> >
> > [mm]\{z \in \IC \backslash \{-1\} |
\summe_{n=1}^{\infty} n*\bruch{z^{n}}{(1+z)^{n}} konvergiert absolut\}[/mm]
> > .
> > Guten Tag,
> >
> > Komme bei dieser Aufgabe nicht weiter.Habe hier mit dem
> > Quotientenkriterium gearbeitet.
> > Also: [mm]|\bruch{(n+1)}{(1+z)^{n+1}}* \bruch{(1+z)^{n}}{n}[/mm] |
> > = | [mm]\bruch{n(1+\bruch{1}{n})}{n(1+z)}[/mm] | = |
> > [mm]\bruch{1+\bruch{1}{n}}{1+z}|.[/mm]
> >
> > Also ist r = |1+z|. Ist das so richtig?
>
>
> Ich kann mir schon denken warum Du r schreibst. Du denkst
> an "Konvergenzradius". Stimmts ? Aber das ist hier fehl am
> Platze ! Die vorgelegte Reihe ist zwar eine Funktionenreihe
> aber keine Potenzreihe !!
Ja, stimmt. Ich dachte halt wegen [mm] z^{n} [/mm] handelt es sich um eine Potenzreihe.... Da muss ich meinen Unterlagen wohl noch mal genau nachlesen.
>
> > Muss ich nun
> > zwischen |z| < |1+z| und |z| > |1+z| unterscheiden?
>
>
> Nein.
>
> Du bekommst doch: [mm]|\bruch{(n+1)}{(1+z)^{n+1}}\cdot{} \bruch{(1+z)^{n}}{n} | \to \bruch{1}{|1+z|}[/mm]
>
> Mit dem QK bedeutet dies:
>
> 1. ist [mm]\bruch{1}{|1+z|}<1,[/mm] so konv. die Reihe absolut. Es
> ist [mm]\bruch{1}{|1+z|}<1 \gdw[/mm] |1+z|>1
>
> 2. ist [mm]\bruch{1}{|1+z|}>1,[/mm] so div. die Reihe . Es ist
> [mm]\bruch{1}{|1+z|}>1 \gdw[/mm] |1+z|<1
>
>
|z+1| = 1 [mm] \Rightarrow (z+1)^{2} [/mm] = 1 [mm] \Rightarrow [/mm] z(z+2) = 0 [mm] \Rightarrow [/mm] z = 0 oder z = -2. Für z = 0 ist es dann konvergent und für z = -2 divergent. Stimmt das so?
LG Loriot95
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Hallo Loriot,
> > > Man untersuche für alle z [mm]\in \IC \backslash \{-1\}[/mm] die
> > > Reihe
> > >
> > > [mm]\summe_{n=1}^{\infty} n*\bruch{z^{n}}{(1+z)^{n}}[/mm]
> > >
> > > auf Konvergenz und absolute Konvergenz und man skizziere
> > > die Menge
> > >
> > > [mm]\{z \in \IC \backslash \{-1\} |
\summe_{n=1}^{\infty} n*\bruch{z^{n}}{(1+z)^{n}} konvergiert absolut\}[/mm]
> > > .
> > > Guten Tag,
> > >
> > > Komme bei dieser Aufgabe nicht weiter.Habe hier mit dem
> > > Quotientenkriterium gearbeitet.
> > > Also: [mm]|\bruch{(n+1)}{(1+z)^{n+1}}* \bruch{(1+z)^{n}}{n}[/mm] |
> > > = | [mm]\bruch{n(1+\bruch{1}{n})}{n(1+z)}[/mm] | = |
> > > [mm]\bruch{1+\bruch{1}{n}}{1+z}|.[/mm]
> > >
> > > Also ist r = |1+z|. Ist das so richtig?
> >
> >
> > Ich kann mir schon denken warum Du r schreibst. Du denkst
> > an "Konvergenzradius". Stimmts ? Aber das ist hier fehl am
> > Platze ! Die vorgelegte Reihe ist zwar eine Funktionenreihe
> > aber keine Potenzreihe !!
> Ja, stimmt. Ich dachte halt wegen [mm]z^{n}[/mm] handelt es sich um
> eine Potenzreihe.... Da muss ich meinen Unterlagen wohl
> noch mal genau nachlesen.
> >
> > > Muss ich nun
> > > zwischen |z| < |1+z| und |z| > |1+z| unterscheiden?
> >
> >
> > Nein.
> >
> > Du bekommst doch: [mm]|\bruch{(n+1)}{(1+z)^{n+1}}\cdot{} \bruch{(1+z)^{n}}{n} | \to \bruch{1}{|1+z|}[/mm]
Das stimmt aber leider auch nicht.
QK liefert [mm] |\bruch{(n+1)z^{n+1}}{(1+z)^{n+1}}\cdot{} \bruch{(1+z)^{n}}{n*z^n} [/mm] | [mm] \to \bruch{|z|}{|1+z|}
[/mm]
Also lautet die FU:
a) [mm] \bruch{|z|}{|1+z|}<1 \gdw [/mm] |z|<|1+z| [mm] \Rightarrow [/mm] absolute Konvergenz
b) [mm] \bruch{|z|}{|1+z|}>1 \gdw [/mm] |z|>|1+z| [mm] \Rightarrow [/mm] Divergenz
c) [mm] \bruch{|z|}{|1+z|}=1
[/mm]
>
> > Mit dem QK bedeutet dies:
> >
> > 1. ist [mm]\bruch{1}{|1+z|}<1,[/mm] so konv. die Reihe absolut. Es
> > ist [mm]\bruch{1}{|1+z|}<1 \gdw[/mm] |1+z|>1
> >
> > 2. ist [mm]\bruch{1}{|1+z|}>1,[/mm] so div. die Reihe . Es ist
> > [mm]\bruch{1}{|1+z|}>1 \gdw[/mm] |1+z|<1
> >
> >
>
> |z+1| = 1 [mm]\Rightarrow (z+1)^{2}[/mm] = 1 [mm]\Rightarrow[/mm] z(z+2) = 0
> [mm]\Rightarrow[/mm] z = 0 oder z = -2. Für z = 0 ist es dann
> konvergent und für z = -2 divergent. Stimmt das so?
(Ja)
>
> LG Loriot95
LG
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:37 Mi 23.03.2011 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Loriot,
> > > > Man untersuche für alle z [mm]\in \IC \backslash \{-1\}[/mm]
> die
> > > > Reihe
> > > >
> > > > [mm]\summe_{n=1}^{\infty} n*\bruch{z^{n}}{(1+z)^{n}}[/mm]
> >
> > >
> > > > auf Konvergenz und absolute Konvergenz und man skizziere
> > > > die Menge
> > > >
> > > > [mm]\{z \in \IC \backslash \{-1\} |
\summe_{n=1}^{\infty} n*\bruch{z^{n}}{(1+z)^{n}} konvergiert absolut\}[/mm]
> > > > .
> > > > Guten Tag,
> > > >
> > > > Komme bei dieser Aufgabe nicht weiter.Habe hier mit dem
> > > > Quotientenkriterium gearbeitet.
> > > > Also: [mm]|\bruch{(n+1)}{(1+z)^{n+1}}* \bruch{(1+z)^{n}}{n}[/mm] |
> > > > = | [mm]\bruch{n(1+\bruch{1}{n})}{n(1+z)}[/mm] | = |
> > > > [mm]\bruch{1+\bruch{1}{n}}{1+z}|.[/mm]
> > > >
> > > > Also ist r = |1+z|. Ist das so richtig?
> > >
> > >
> > > Ich kann mir schon denken warum Du r schreibst. Du denkst
> > > an "Konvergenzradius". Stimmts ? Aber das ist hier fehl am
> > > Platze ! Die vorgelegte Reihe ist zwar eine Funktionenreihe
> > > aber keine Potenzreihe !!
> > Ja, stimmt. Ich dachte halt wegen [mm]z^{n}[/mm] handelt es sich
> um
> > eine Potenzreihe.... Da muss ich meinen Unterlagen wohl
> > noch mal genau nachlesen.
> > >
> > > > Muss ich nun
> > > > zwischen |z| < |1+z| und |z| > |1+z| unterscheiden?
> > >
> > >
> > > Nein.
> > >
> > > Du bekommst doch: [mm]|\bruch{(n+1)}{(1+z)^{n+1}}\cdot{} \bruch{(1+z)^{n}}{n} | \to \bruch{1}{|1+z|}[/mm]
> Das stimmt aber leider auch nicht.
Aua, Du hast recht. Da hab ich nicht aufgepasst !
FRED
> QK liefert [mm]|\bruch{(n+1)z^{n+1}}{(1+z)^{n+1}}\cdot{} \bruch{(1+z)^{n}}{n*z^n}[/mm]
> | [mm]\to \bruch{|z|}{|1+z|}[/mm]
>
> Also lautet die FU:
> a) [mm]\bruch{|z|}{|1+z|}<1 \gdw[/mm] |z|<|1+z| [mm]\Rightarrow[/mm]
> absolute Konvergenz
> b) [mm]\bruch{|z|}{|1+z|}>1 \gdw[/mm] |z|>|1+z| [mm]\Rightarrow[/mm]
> Divergenz
> c) [mm]\bruch{|z|}{|1+z|}=1[/mm]
> >
> > > Mit dem QK bedeutet dies:
> > >
> > > 1. ist [mm]\bruch{1}{|1+z|}<1,[/mm] so konv. die Reihe absolut. Es
> > > ist [mm]\bruch{1}{|1+z|}<1 \gdw[/mm] |1+z|>1
> > >
> > > 2. ist [mm]\bruch{1}{|1+z|}>1,[/mm] so div. die Reihe . Es ist
> > > [mm]\bruch{1}{|1+z|}>1 \gdw[/mm] |1+z|<1
> > >
> > >
> >
> > |z+1| = 1 [mm]\Rightarrow (z+1)^{2}[/mm] = 1 [mm]\Rightarrow[/mm] z(z+2) = 0
> > [mm]\Rightarrow[/mm] z = 0 oder z = -2. Für z = 0 ist es dann
> > konvergent und für z = -2 divergent. Stimmt das so?
> (Ja)
> >
> > LG Loriot95
> LG
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:32 Do 24.03.2011 | | Autor: | Loriot95 |
> Ich kann mir schon denken warum Du r schreibst. Du denkst
> an "Konvergenzradius". Stimmts ? Aber das ist hier fehl am
> Platze ! Die vorgelegte Reihe ist zwar eine Funktionenreihe
> aber keine Potenzreihe !!
So blöd ichs auch finde. Ich muss dann doch noch Mal nachfragen. Weshalb handelt es sich hier nicht um eine Potenzreihe? Nach Definition ist eine Potenzreihe von der Form: [mm] \summe_{n=0}^{\infty} a_{n}*(x-x_{0})^{n}. [/mm] Ich dachte hier wäre [mm] a_{n} [/mm] = [mm] \bruch{n}{(1+z)^{n}}, x^{n} [/mm] = [mm] z^{n} [/mm] und [mm] x_{0} [/mm] = 0.
>
> > Muss ich nun
> > zwischen |z| < |1+z| und |z| > |1+z| unterscheiden?
>
>
> Nein.
>
> Du bekommst doch: [mm]|\bruch{(n+1)}{(1+z)^{n+1}}\cdot{} \bruch{(1+z)^{n}}{n} | \to \bruch{1}{|1+z|}[/mm]
>
>
> Edit: obiges stimmt nicht. Siehe Beitrag von kamaleonti.
>
>
>
> Mit dem QK bedeutet dies:
>
> 1. ist [mm]\bruch{1}{|1+z|}<1,[/mm] so konv. die Reihe absolut. Es
> ist [mm]\bruch{1}{|1+z|}<1 \gdw[/mm] |1+z|>1
>
> 2. ist [mm]\bruch{1}{|1+z|}>1,[/mm] so div. die Reihe . Es ist
> [mm]\bruch{1}{|1+z|}>1 \gdw[/mm] |1+z|<1
>
> So, nun untersuche Du den Fall |1+z|=1.
>
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> FRED
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> >
> > LG Loriot95
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LG Loriot95
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> > Ich kann mir schon denken warum Du r schreibst. Du denkst
> > an "Konvergenzradius". Stimmts ? Aber das ist hier fehl am
> > Platze ! Die vorgelegte Reihe ist zwar eine Funktionenreihe
> > aber keine Potenzreihe !!
> So blöd ichs auch finde. Ich muss dann doch noch Mal
> nachfragen. Weshalb handelt es sich hier nicht um eine
> Potenzreihe? Nach Definition ist eine Potenzreihe von der
> Form: [mm]\summe_{n=0}^{\infty} a_{n}*(x-x_{0})^{n}.[/mm] Ich
> dachte hier wäre [mm]a_{n}[/mm] = [mm]\bruch{n}{(1+z)^{n}}, x^{n}[/mm] =
> [mm]z^{n}[/mm] und [mm]x_{0}[/mm] = 0.
du kannst die "z" doch nicht einfach so trennen wie du magst
[mm] x^n [/mm] entspräche hier [mm] (\frac{z}{1+z})^n [/mm] und das ist keine potenzreihe in dem sinne wie du meinst
> >
> > > Muss ich nun
> > > zwischen |z| < |1+z| und |z| > |1+z| unterscheiden?
> >
> >
> > Nein.
> >
> > Du bekommst doch: [mm]|\bruch{(n+1)}{(1+z)^{n+1}}\cdot{} \bruch{(1+z)^{n}}{n} | \to \bruch{1}{|1+z|}[/mm]
> >
> >
> > Edit: obiges stimmt nicht. Siehe Beitrag von kamaleonti.
> >
> >
> >
> > Mit dem QK bedeutet dies:
> >
> > 1. ist [mm]\bruch{1}{|1+z|}<1,[/mm] so konv. die Reihe absolut. Es
> > ist [mm]\bruch{1}{|1+z|}<1 \gdw[/mm] |1+z|>1
> >
> > 2. ist [mm]\bruch{1}{|1+z|}>1,[/mm] so div. die Reihe . Es ist
> > [mm]\bruch{1}{|1+z|}>1 \gdw[/mm] |1+z|<1
> >
> > So, nun untersuche Du den Fall |1+z|=1.
> >
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> > FRED
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> > >
> > > LG Loriot95
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> LG Loriot95
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:00 Do 24.03.2011 | | Autor: | fred97 |
Ergänzend zu Fencheltee:
Du kannst substituieren: [mm] $w:=\bruch{z}{1+z}$ [/mm] und die Potenzreihe
(*) [mm] \summe_{n=0}^{ \infty}w^n
[/mm]
betrachten. Die hat, wie man leicht sieht, den Konvergenzradius r=1. D.h.:
1. für $|w|<1$ konvergiert die Reihe in (*) absolut,
2. für $|w|>1$ divergiert die Reihe in (*) ,
3. im Falle $|w|=1$ weiß man zunächst nix.
Wegen [mm] $|w|=\bruch{|z|}{|1+z|}$ [/mm] laufen die Punkte 1. , 2. und 3. auf genau das hinaus, was wir in dieser Diskussion schon gemacht haben.
Dass die ursprüngliche Reihe keine Potenzreihe ist, kannst Du auch daran erkennen, dass ihr Konvergenzbereich eine Halbebene ist, und keine Kreisscheibe.
FRED
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:14 Do 24.03.2011 | | Autor: | Loriot95 |
Hm ok. Vielen Dank.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:40 Mi 23.03.2011 | | Autor: | fred97 |
kamaleonti hat zu recht bemerkt, dass ich oben Unsinn geschrieben habe:
Wir fassen zusammen:
a) $ [mm] \bruch{|z|}{|1+z|}<1 \gdw [/mm] $ |z|<|1+z| $ [mm] \Rightarrow [/mm] $ absolute Konvergenz
b) $ [mm] \bruch{|z|}{|1+z|}>1 \gdw [/mm] $ |z|>|1+z| $ [mm] \Rightarrow [/mm] $ Divergenz
c) Zu untersuchen ist noch der Fall: $ [mm] \bruch{|z|}{|1+z|}=1 [/mm] $
FRED
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:00 Mi 23.03.2011 | | Autor: | Loriot95 |
Ok. Also |z| = |z+1| [mm] \Rightarrow [/mm] z = [mm] \bruch{-1}{2}.
[/mm]
Dann divergiert die Reihe für [mm] \bruch{|z|}{|z+1|}. [/mm] Ist das korrekt? Was das zeichnen angeht... Es ist doch |z-0| < |z-(-1)|. D.h der Abstand zum 0 Punkt soll kleiner sein als der Abstand zum Punkt -1. Oder sehe ich das völlig falsch? Und wie kann ich mir das bildlich vorstellen? Wäre |z| = |z+1| so wäre es doch die Senkrechte durch [mm] -\bruch{1}{2}, [/mm] oder?
LG Loriot95
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:08 Mi 23.03.2011 | | Autor: | fred97 |
> Ok. Also |z| = |z+1| [mm]\Rightarrow[/mm] z = [mm]\bruch{-1}{2}.[/mm]
Du bist doch in [mm] \IC [/mm] !!!
Setze z=x+iy (mit x,y [mm] \in \IR)
[/mm]
Berechne |z|, berechne |z+1| und schau nach für welche z gilt: |z| = |z+1|
FRED
> Dann divergiert die Reihe für [mm]\bruch{|z|}{|z+1|}.[/mm] Ist das
> korrekt? Was das zeichnen angeht... Es ist doch |z-0| <
> |z-(-1)|. D.h der Abstand zum 0 Punkt soll kleiner sein als
> der Abstand zum Punkt -1. Oder sehe ich das völlig falsch?
> Und wie kann ich mir das bildlich vorstellen? Wäre |z| =
> |z+1| so wäre es doch die Senkrechte durch [mm]-\bruch{1}{2},[/mm]
> oder?
>
> LG Loriot95
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:31 Mi 23.03.2011 | | Autor: | Loriot95 |
Na für x = [mm] \bruch{-1}{2} [/mm] und y beliebig oder nicht?
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Hallo Loriot,
> Na für x = [mm]\bruch{-1}{2}[/mm] und y beliebig oder nicht? ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Ja!
Gruß
schachuzipus
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:38 Mi 23.03.2011 | | Autor: | Loriot95 |
Ok. Und beim zeichnen wäre es dann x > [mm] \bruch{-1}{2} [/mm] und ab da dann quasi die ganze fläche?
LG Loriot95
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Hallo Loriot95,
> Ok. Und beim zeichnen wäre es dann x > [mm]\bruch{-1}{2}[/mm] und
> ab da dann quasi die ganze fläche?
Ja.
>
> LG Loriot95
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:23 Mi 23.03.2011 | | Autor: | fred97 |
> Na für x = [mm]\bruch{-1}{2}[/mm] und y beliebig oder nicht?
Ja, und was ist die Reihe nun in Punkten z der Form
z=-1/2+iy
konvergent, absolut konvergent oder divergent ? Das hast Du noch nicht geklärt.
FRED
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:45 Mi 23.03.2011 | | Autor: | Loriot95 |
Konvergent. Denn wenn ich Quotientenkriterium anwende erhalte ich:
[mm] \bruch{(n+1)*(\bruch{-1}{2}+iy)^{n+1}}{(\bruch{1}{2}+iy)^{n+1}}* \bruch{(\bruch{1}{2}+iy)^{n}}{n*(\bruch{-1}{2}+iy)^{n}} [/mm] = [mm] \bruch{(n+1)*(\bruch{-1}{2}+iy)}{n*(\bruch{1}{2}+iy)} [/mm] Also: [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{(n+1)*(\bruch{-1}{2}+iy)}{n*(\bruch{1}{2}+iy)} [/mm] = 0 < 1.
Stimmt das so?
LG Loriot95
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:02 Mi 23.03.2011 | | Autor: | fred97 |
> Konvergent. Denn wenn ich Quotientenkriterium anwende
> erhalte ich:
>
> [mm]\bruch{(n+1)*(\bruch{-1}{2}+iy)^{n+1}}{(\bruch{1}{2}+iy)^{n+1}}* \bruch{(\bruch{1}{2}+iy)^{n}}{n*(\bruch{-1}{2}+iy)^{n}}[/mm]
> = [mm]\bruch{(n+1)*(\bruch{-1}{2}+iy)}{n*(\bruch{1}{2}+iy)}[/mm]
> Also: [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{(n+1)*(\bruch{-1}{2}+iy)}{n*(\bruch{1}{2}+iy)}[/mm]
> = 0 < 1.
>
> Stimmt das so?
Nein.
1. Du solltest Beträge spendieren, wenn Du das QK anwendest !
2. Der obige GW ist = 1 (wenn man Beträge spendiert hat):
[mm] \bruch{(n+1)*|\bruch{-1}{2}+iy|}{n*|\bruch{1}{2}+iy|} \to [/mm] 1,
denn
(*) [mm] |\bruch{-1}{2}+iy|= |\bruch{1}{2}+iy|
[/mm]
Mit dem QK kommen wir also nicht weiter. Aber so: Sei $z:= [mm] \bruch{-1}{2}+iy$: [/mm]
Wir betrachten die Folge
[mm] a_n:=n*\bruch{z^n}{(1+z)^n}
[/mm]
Wegen (*) ist [mm] |a_n|=n. [/mm] Kann dann [mm] \sum a_n [/mm] konvergieren ?
FRED
>
> LG Loriot95
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:05 Mi 23.03.2011 | | Autor: | Loriot95 |
Nein, natürlich nicht. Vielen Dank für die Hilfe.
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