Konvergenz Potenzreihen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:24 Mo 24.11.2008 | | Autor: | Palonina |
| Aufgabe | Man prüfe, für welche $z [mm] \in \IC$ [/mm] die folgenden Reihen konvergieren:
(a) $ [mm] \summe_{n=3}^{\infty}\frac{z^n}{n^4} [/mm] $
(b) $ [mm] \summe_{n=6}^{\infty}\ [/mm] n! [mm] z^n$
[/mm]
(c) $ [mm] \summe_{n=2}^{\infty}\frac{z^n}{1 + |z|^n} [/mm] $
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Hallo,
bei den ersten beiden Aufgaben habe ich mit dem Quotientenkriterium den Konvergenzradius berechnet.
Für (a) habe ich r=1 erhalten, also konvergiert die Reihe für $|z| < 1$. Da in der Aufgabe aber gefragt ist, für welche z sie konvergiert, muss ich noch untersuchen, was für $|z| = 1 $ passiert. Wie mache ich das?
Bei der zweiten Reihe habe ich den Konvergenzradius r=0, also Konvergenz für |z|=0. Hier entfällt also die Betrachtung für den Rand.
Bei Aufgabe (c) habe ich noch keine Ahnung, wie ich die angehen soll. So wie sie da steht, ist es ja keine Potenzreihe, es ist mir aber auch nicht gelungen sie in eine umzuformen.
Ich hoffe, ihr könnt mir weiterhelfen.
Gruß, Palonina
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:42 Mo 24.11.2008 | | Autor: | fred97 |
> Man prüfe, für welche [mm]z \in \IC[/mm] die folgenden Reihen
> konvergieren:
>
> (a) [mm] \summe_{n=3}^{\infty}\frac{z^n}{n^4}[/mm]
> (b) [mm] \summe_{n=6}^{\infty}\ n! z^n[/mm]
>
> (c) [mm] \summe_{n=2}^{\infty}\frac{z^n}{1 + |z|^n}[/mm]
>
> Hallo,
>
> bei den ersten beiden Aufgaben habe ich mit dem
> Quotientenkriterium den Konvergenzradius berechnet.
> Für (a) habe ich r=1 erhalten, also konvergiert die Reihe
> für [mm]|z| < 1[/mm]. Da in der Aufgabe aber gefragt ist, für welche
> z sie konvergiert, muss ich noch untersuchen, was für [mm]|z| = 1[/mm]
> passiert. Wie mache ich das?
Für |z|=1 ist [mm] |\frac{z^n}{n^4}| [/mm] = [mm] 1/n^4 [/mm] und [mm] \summe_{n=3}^{\infty}\frac{1}{n^4} [/mm] ist konvergent, also ist
$ [mm] \summe_{n=3}^{\infty}\frac{z^n}{n^4} [/mm] $ sogar absolut konvergent für |z|=1.
>
> Bei der zweiten Reihe habe ich den Konvergenzradius r=0,
> also Konvergenz für |z|=0. Hier entfällt also die
> Betrachtung für den Rand.
Richtig. Die Reihe konvergiert nur für z = 0
>
> Bei Aufgabe (c) habe ich noch keine Ahnung, wie ich die
> angehen soll. So wie sie da steht, ist es ja keine
> Potenzreihe, es ist mir aber auch nicht gelungen sie in
> eine umzuformen.
Tipp: Fallunterscheidung: |z|<1, |z|=1 und |z|>1
FRED
>
> Ich hoffe, ihr könnt mir weiterhelfen.
> Gruß, Palonina
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:15 Mo 24.11.2008 | | Autor: | Palonina |
> >
> > Bei Aufgabe (c) habe ich noch keine Ahnung, wie ich die
> > angehen soll. So wie sie da steht, ist es ja keine
> > Potenzreihe, es ist mir aber auch nicht gelungen sie in
> > eine umzuformen.
>
> Tipp: Fallunterscheidung: |z|<1, |z|=1 und |z|>1
>
>
> FRED
Hallo Fred,
an Fallunterscheidung habe ich auch gedacht, wobei ich aber wahrscheinlich den Fall |z|=1 unterschlagen hätte.
In diesem Fall hätte ich dann $ [mm] \summe_{n=2}^{\infty}\frac{1}{2} [/mm] $ und die Reihe würde wegen [mm] $\frac{1}{2}<1$ [/mm] konvergieren.
In den beiden anderen Fällen möchte ich den Ausdruck in die Form [mm] $a_n (z-z_0)^n$ [/mm] bringen. Das hat bisher aber nicht geklappt.
Oder gibt es eine andere Möglichkeit?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:22 Mo 24.11.2008 | | Autor: | fred97 |
> > >
> > > Bei Aufgabe (c) habe ich noch keine Ahnung, wie ich die
> > > angehen soll. So wie sie da steht, ist es ja keine
> > > Potenzreihe, es ist mir aber auch nicht gelungen sie in
> > > eine umzuformen.
> >
> > Tipp: Fallunterscheidung: |z|<1, |z|=1 und |z|>1
> >
> >
> > FRED
>
> Hallo Fred,
>
> an Fallunterscheidung habe ich auch gedacht, wobei ich aber
> wahrscheinlich den Fall |z|=1 unterschlagen hätte.
> In diesem Fall hätte ich dann
> [mm]\summe_{n=2}^{\infty}\frac{1}{2}[/mm] und die Reihe würde wegen
> [mm]\frac{1}{2}<1[/mm] konvergieren.
Quatsch !!!! Die Reihe [mm] \summe_{n=2}^{\infty}\frac{1}{2} [/mm] divergiert (wie verrückt). Mach Dir das klar.
>
> In den beiden anderen Fällen möchte ich den Ausdruck in die
> Form [mm]a_n (z-z_0)^n[/mm] bringen. Das hat bisher aber nicht
> geklappt.
Bei (a) ist [mm] z_0 [/mm] = 0 und [mm] a_n [/mm] = [mm] 1/n^4
[/mm]
Bei (b) ist [mm] z_0 [/mm] = 0 und [mm] a_n [/mm] = n!
FRED
> Oder gibt es eine andere Möglichkeit?
>
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:37 Mo 24.11.2008 | | Autor: | Palonina |
> Quatsch !!!! Die Reihe [mm]\summe_{n=2}^{\infty}\frac{1}{2}[/mm]
> divergiert (wie verrückt). Mach Dir das klar.
Der Hunger hat mich wohl etwas zu schnell die Aufgabe beenden lassen, du hast völlig recht, da steht ja nicht [mm] $(\frac{1}{2})^n$
[/mm]
> > In den beiden anderen Fällen möchte ich den Ausdruck in die
> > Form [mm]a_n (z-z_0)^n[/mm] bringen. Das hat bisher aber nicht
> > geklappt.
>
> Bei (a) ist [mm]z_0[/mm] = 0 und [mm]a_n[/mm] = [mm]1/n^4[/mm]
>
> Bei (b) ist [mm]z_0[/mm] = 0 und [mm]a_n[/mm] = n!
>
> FRED
Da habe ich mich wohl missverständlich ausgedrückt, ich meinte die anderen Fälle aus der Fallunterscheidung: |z|<1, und |z|>1.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:42 Mo 24.11.2008 | | Autor: | fred97 |
> > Quatsch !!!! Die Reihe [mm]\summe_{n=2}^{\infty}\frac{1}{2}[/mm]
> > divergiert (wie verrückt). Mach Dir das klar.
>
> Der Hunger hat mich wohl etwas zu schnell die Aufgabe
> beenden lassen, du hast völlig recht, da steht ja nicht
> [mm](\frac{1}{2})^n[/mm]
>
> > > In den beiden anderen Fällen möchte ich den Ausdruck in die
> > > Form [mm]a_n (z-z_0)^n[/mm] bringen. Das hat bisher aber nicht
> > > geklappt.
> >
> > Bei (a) ist [mm]z_0[/mm] = 0 und [mm]a_n[/mm] = [mm]1/n^4[/mm]
> >
> > Bei (b) ist [mm]z_0[/mm] = 0 und [mm]a_n[/mm] = n!
> >
> > FRED
>
> Da habe ich mich wohl missverständlich ausgedrückt, ich
> meinte die anderen Fälle aus der Fallunterscheidung: |z|<1,
> und |z|>1.
>
>
>
O.K. ein Mißverständnis. In (c) liegt keine Potenzreihe vor, Du wirst diese Reihe also nicht in die Form [mm] \summe_{n=0}^{\infty}a_n(z-z_0)^n [/mm] bringen können.
FRED
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