Konvergenz Potenzreihen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Bestimmen Sie den Konvergenzradius der folgenden Potenzreihen über [mm] \IR,
[/mm]
und untersuchen Sie das Konvergenzverhalten am Rand des Konvergenzintervalls:
a) [mm] \summe_{n=0}^{\infty} n^{2}*x^{n}
[/mm]
b) [mm] \summe_{n=0}^{\infty} 2^{n}*x^{n}/\wurzel{n} [/mm] |
Hallo,
Die Potenzreihe haben wir folgendermaßen definiert: [mm] f(x)=\summe_{n=0}^{\infty} c_{n}*(x-a)^{n}
[/mm]
und den Konvergenzradius: R:= sup{ |x-a|: [mm] \summe_{n=0}^{\infty} c_{n}*(x-a)^{n} [/mm] konvergiert}
a) definiere [mm] f_{n}(x):=n^{2}*x^{n}
[/mm]
Nach Weierstraß Kriterium konvergiert die Funktionenreihe (Potenzreihe),wenn [mm] \parallel f_{n}\parallel< \infty
[/mm]
[mm] \parallel n^{2}*x^{n}\parallel< \infty [/mm] (Bezeichne die Supremumsnorm)
daher muss |x|<1.
An den Randpunkten x=1 und x=-1 divergiert es.
b) |x|<1/2
Bei den Randpunkten x=1/2 divergiert die Reihe und bei x=-1/2 konvergiert die Reihe nach Leibnizkriterium.
beste Grüße zahlenfreund
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:23 Mo 20.07.2015 | | Autor: | fred97 |
> Bestimmen Sie den Konvergenzradius der folgenden
> Potenzreihen über [mm]\IR,[/mm]
> und untersuchen Sie das Konvergenzverhalten am Rand des
> Konvergenzintervalls:
>
> a) [mm]\summe_{n=0}^{\infty} n^{2}*x^{n}[/mm]
>
> b) [mm]\summe_{n=0}^{\infty} 2^{n}*x^{n}/\wurzel{n}[/mm]
> Hallo,
>
> Die Potenzreihe haben wir folgendermaßen definiert:
> [mm]f(x)=\summe_{n=0}^{\infty} c_{n}*(x-a)^{n}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
>
> und den Konvergenzradius: R:= sup{ |x-a|:
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty} c_{n}*(x-a)^{n}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
konvergiert}
>
> a) definiere [mm]f_{n}(x):=n^{2}*x^{n}[/mm]
> Nach Weierstraß Kriterium konvergiert die Funktionenreihe
> (Potenzreihe),wenn [mm]\parallel f_{n}\parallel< \infty[/mm]
Das ist doch Unsinn. Formuliere mal das Kriterium, so wie Du es gelernt hast !
>
> [mm]\parallel n^{2}*x^{n}\parallel< \infty[/mm] (Bezeichne die
> Supremumsnorm)
Supremum von [mm] |n^{2}*x^{n}| [/mm] über welche Menge ????
> daher muss |x|<1.
> An den Randpunkten x=1 und x=-1 divergiert es.
Das Ergebnis ist richtig, aber völlig abenteuerlich "begründet".
>
> b) |x|<1/2
> Bei den Randpunkten x=1/2 divergiert die Reihe und bei
> x=-1/2 konvergiert die Reihe nach Leibnizkriterium.
Ja, aber wieso ???
FRED
>
> beste Grüße zahlenfreund
|
|
|
| |
|
Hallo Fred,
Das ist genau mein Problem. In der Vorlesung hatten wir kein Kriterium, weder cauchy-hadamard noch ein anderes. Daher habe ich es mit weierstraß kriterium versucht. Mit cauchy hadamard ist mir das Verfahren verständlich.
Lg zahlenfreund
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:32 Di 21.07.2015 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Fred,
>
> Das ist genau mein Problem. In der Vorlesung hatten wir
> kein Kriterium, weder cauchy-hadamard noch ein anderes.
> Daher habe ich es mit weierstraß kriterium versucht. Mit
> cauchy hadamard ist mir das Verfahren verständlich.
Nimm doch das Wurzelkriterium. Bei a), $ [mm] \summe_{n=0}^{\infty} n^{2}\cdot{}x^{n} [/mm] $, hat man dann:
[mm] $\wurzel[n]{n^2*|x|^n}=\wurzel[n]{n^2}|x| \to [/mm] |x|$ für $n [mm] \to \infty$
[/mm]
Für |x|<1 ist also $ [mm] \summe_{n=0}^{\infty} n^{2}\cdot{}x^{n} [/mm] $ absolut konvergent und für |x|>1 ist $ [mm] \summe_{n=0}^{\infty} n^{2}\cdot{}x^{n} [/mm] $ divergent.
Der Konvergenzradius ist also = 1.
Für $x = [mm] \pm [/mm] 1$ ist [mm] $(n^{2}\cdot{}x^{n})$ [/mm] keine Nullfolge, somit hat man auch Divergenz für diese x.
FRED
>
> Lg zahlenfreund
|
|
|
|
