Konvergenz Laurentreihe < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:48 Sa 23.06.2007 | | Autor: | hopsie |
Hallo!
Von einer Funktion f sei Folgendes gegeben:
[mm] z_{0} [/mm] sei ein Pol 2. Ordnung und f(z) = [mm] \summe_{n=-\infty}^{\infty}c_{n}(z-z_{0})^{n} [/mm] sei die Laurentreihenentwicklung von f um [mm] z_{0}.
[/mm]
Dann heißt das ja erstmal, dass [mm] c_{n} [/mm] = 0 für alle [mm] n\le-3
[/mm]
Heißt das aber auch automatisch, dass die Laurentreihe (also insbesondere der Nebenteil) konvergiert??
Wenn nicht (was ich denke), kann man das mit diesen Informationen beweisen? Oder hängt das von den [mm] c_{n} [/mm] bzw. von f(z) ab?
Bin für jede Antwort dankbar.
Gruß, hopsie
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:43 So 24.06.2007 | | Autor: | felixf |
Hallo hopsie!
> Von einer Funktion f sei Folgendes gegeben:
> [mm]z_{0}[/mm] sei ein Pol 2. Ordnung und f(z) =
> [mm]\summe_{n=-\infty}^{\infty}c_{n}(z-z_{0})^{n}[/mm] sei die
> Laurentreihenentwicklung von f um [mm]z_{0}.[/mm]
>
> Dann heißt das ja erstmal, dass [mm]c_{n}[/mm] = 0 für alle [mm]n\le-3[/mm]
Und [mm] $c_{-2} \neq [/mm] 0$.
> Heißt das aber auch automatisch, dass die Laurentreihe
> (also insbesondere der Nebenteil) konvergiert??
Auf einer passenden Menge, ja. Und zwar ist diese Menge ein offener Kreis um [mm] $z_0$, [/mm] aus der [mm] $z_0$ [/mm] herausgenommen wurde.
DIes siehst du wie folgt: die Funktion $(z - [mm] z_0)^2 [/mm] f(z)$ ist holomorph in einer Umgebung von [mm] $z_0$, [/mm] und hat dort eine Potenzreihenentwicklung [mm] $\sum_{k=0}^\infty a_k [/mm] (z - [mm] z_0)^k$ [/mm] (und diese Reihe konvergiert auf einer Umgebung). Nun ist $f(z) = [mm] \frac{(z - z_0)^2 f(z)}{(z - z_0)^2} [/mm] = [mm] \frac{\sum_{k=0}^\infty a_k (z - z_0)^k}{(z - z_0)^2} [/mm] = [mm] \sum_{k=0}^\infty a_k [/mm] (z - [mm] z_0)^{k - 2} [/mm] = [mm] \sum_{k=-2}^\infty a_{k+2} [/mm] (z - [mm] z_0)^k$.
[/mm]
Da die Laurentreihenentwicklung von $f$ um [mm] $z_0$ [/mm] eindeutig ist, ist somit [mm] $c_k [/mm] = [mm] a_{k+2}$, [/mm] womit insbesondere die Reihe [mm] $\sum_{k=0}^\infty c_k [/mm] (z - [mm] z_0)^k$ [/mm] konvergiert (auf einem offenen Kreis um [mm] $z_0$). [/mm] Und wenn man den Hauptteil [mm] $c_{-2} [/mm] (z - [mm] z_0)^{-2} [/mm] + [mm] c_{-1} [/mm] (z - [mm] z_0)^{-1}$ [/mm] hinzuaddiert, aendert sich an der Konvergenz nichts (ausser das man nicht mehr $z = [mm] z_0$ [/mm] einsetzen darf).
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:59 So 24.06.2007 | | Autor: | hopsie |
Hallo Felix!
Vielen Dank für deine Antwort! Hat mir sehr geholfen.
Hab trotzdem noch eine Frage:
Warum konvergiert die Potenzreihe [mm] \sum_{k=0}^\infty a_k [/mm] (z - [mm] z_0)^k [/mm] auf einer Umgebung von [mm] z_{0}? [/mm] Kann der Konvergenzradius nicht 0 sein? Oder hat eine holomorphe Funktion (die man in eine Potenzreihe entwickeln kann) immer einen echt positiven Konvergenzradius?
Den Konvergenzradius kann man aber hier nicht weiter bestimmen, oder?
LG, hopsie
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:52 So 24.06.2007 | | Autor: | felixf |
Hallo hopsie!
> Hab trotzdem noch eine Frage:
> Warum konvergiert die Potenzreihe [mm]\sum_{k=0}^\infty a_k[/mm] (z
> - [mm]z_0)^k[/mm] auf einer Umgebung von [mm]z_{0}?[/mm] Kann der
> Konvergenzradius nicht 0 sein? Oder hat eine holomorphe
> Funktion (die man in eine Potenzreihe entwickeln kann)
> immer einen echt positiven Konvergenzradius?
> Den Konvergenzradius kann man aber hier nicht weiter
> bestimmen, oder?
Das haengt ganz vom Gebiet ab. Generell ist es so:
wenn du eine Funktion $f : [mm] \IC \to \IC$ [/mm] hast und du weisst, dass sie auf einer Menge [mm] $B_r(z_0) [/mm] = [mm] \{ z \in \IC \mid |z - z_0| < r \}$ [/mm] holomorph ist, dann hat die Potenzreihenentwicklung von $f$ in [mm] $z_0$ [/mm] mindestens den Konvergenzradius $r$.
Anders gesagt: der Konvergenzradius der Potenzreihenentwicklung in [mm] $z_0$ [/mm] ist ``so gross wie es geht'', also bis zur naechsten Singularitaet oder zum naechsten Randpunkt ab dem die Funktion wirklich nicht mehr fortgesetzt werden kann.
In diesem Fall: da $(z - [mm] z_0)^2 [/mm] f(z)$ in [mm] $z_0$ [/mm] holomorph ist, gibt es eine Umgebung von [mm] $z_0$, [/mm] auf der diese Funktion holomorph ist, und somit ist der Konvergenzradius immer positiv. Und wenn du weisst, wie das Gebiet aussieht, kannst du den Konvergenzradius (bzw. eine untere Schranke dafuer) sogar explizit angeben.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:57 Mo 25.06.2007 | | Autor: | hopsie |
Ah, vielen Dank! Das macht Sinn 
LG hopsie
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