Konvergenz, Konvergenzradien, Fakultät < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:24 Do 17.06.2004 | | Autor: | Julia1 |
Hallo!
Bei folgender Frage bräuchte ich (wieder mal) ein bißchen Hilfe:
Man bestimme die Konvergenzradien sowie alle z Element der komplexen Zahlen für die die folgenden Reihen konvergieren, beziehungsweise absolut konvergieren.
a.)
Summe [mm] (3^nz^n): [/mm] n!
Meine bisherigen Überlegungen:
Zerlegung der Summe in:
(1:n!) (3z - [mm] 0)^n
[/mm]
setze (1:n!) = ak, setze 0 = z0
dann folgt:
ak (3z - [mm] z0)^n
[/mm]
und dann könnte ich das abschätzen mit:
Betrag (3z - z0) größer 1:a
Betrag (3z - z0) kleiner 1:a
und gesonderte Untersuchung von (3z - z0) = 1:a
Allerdings fehlt mir der Grenzwert 1/n! (ist das eine Nullfolge?!) und dann ist auch noch die Frage, was ich mit meinen komplexen Zahlen mache!
b.)
Summe [mm] z^n!:n! [/mm] (Fakultät jeweils nur bei n)
Hier wüsste ich auch gerne, wie ich mit der Fakultät umgehen muss!
Liebe Grüße und besten Dank für die Hilfe,
Julia
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:19 Do 17.06.2004 | | Autor: | Julius |
Liebe Julia!
Erst einmal würde ich dir ganz klar raten, da du doch große Lücken zu haben scheinst, diese kleine Erläuterung zu Potenzreihen und ihrer Konvergenz einmal durchzuarbeiten:
![[]](/images/popup.gif) http://www.uni-duisburg.de/FB11/FGS/F7/AnaI/AnaI-19.pdf
> Summe [mm](3^nz^n):[/mm] n!
Zu untersuchen ist also die Reihe:
[mm] $\sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac{3^n z^n}{n!}$.
[/mm]
Also entweder man argumentiert direkt über die Exponentialreihe
(da der Konvergenzradius der Reihe [mm] $\sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac{z^n}{n!}$ [/mm] gleich [mm] $\infty$ [/mm] ist, muss er das offenbar auch für die Reihe [mm] $\sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac{3^n z^n}{n!}$ [/mm] sein)
oder aber man argumentiert noch mal neu:
Für alle $z [mm] \in \IC$ [/mm] gilt für den Konvergenzradius $r$ (nach Satz 19.2 in dem obigen Skript):
$r = [mm] \lim\limits_{n \to \infty} \frac{\frac{3^n}{n!}}{\frac{3^{n+1}}{(n+1)!}} [/mm] = [mm] \lim\limits_{n \to \infty} (\frac{n+1}{3}) [/mm] = [mm] \infty$.
[/mm]
> b.)
>
> Summe [mm]z^n!:n![/mm] (Fakultät jeweils nur bei n)
Für den Konvergenzradius $r$ einer Potenzreihe [mm] $\sum_{n=0}^{\infty} c_n (z-z_0)^n$ [/mm] gilt:
$r= [mm] \frac{1}{\limsup\limits_{n \to \infty} \sqrt[n]{|c_n|}}$,
[/mm]
hier also:
$r = [mm] \frac{1}{\limsup\limits_{n \to \infty} \left[ (\frac{1}{n!})^{\frac{1}{n!}} \right]} [/mm] = [mm] \frac{1}{\limsup\limits_{n \to \infty} e^{\frac{1}{n!} \log(\frac{1}{n!})}} [/mm] = [mm] \frac{1}{\lim\sup\limits_{N \to \infty} exp \left[-{\frac{1}{N} \log(N)} \right]}= \frac{1}{e^0} [/mm] = 1$.
Liebe Grüße
Julius
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