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Konvergenz Funktionenfolge: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:29 Di 10.12.2013
Autor: Muto_Kenji

Aufgabe
Für n \in \mathbb{N} sei f_{n} = n\chi_{[\bruch{1}{n},\bruch{2}{n}]}. Man beweise:

(f_{n})_{n \in \mathbb{N}} konvergiert punktweise auf \mathbb{R}.

Hallo,

ich hoffe jemand kann mir helfen:

Man sieht, dass die Funktion zumindest f.ü. punktweise konvergiert. Allerdings darf für die Forderung der punktweisen Konvergenz nie eine Nullmenge existieren (das Intervall konvergiert gegen {0}) . Grund hierfür ist wohl das "n" vor der Indikatorfunktion.

Kann mir jemand einen Ansatz geben?

Gruß,
Kenji

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
        
Bezug
Konvergenz Funktionenfolge: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 06:32 Mi 11.12.2013
Autor: fred97

Sei x [mm] \in \IR: [/mm]

Fall 1: x [mm] \le [/mm] 0. Dann ist [mm] f_n(x)=0 [/mm] für alle n.

Fall 2: x>0. Wähle N [mm] \in \IN [/mm] so, dass 2/N<x. Dann ist [mm] f_n(x)=0 [/mm]  für alle n [mm] \ge [/mm] N.

FRED
Bezug
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