Konvergenz Funktionenfolge < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:23 Mo 23.04.2007 | | Autor: | Zerwas |
| Aufgabe | Man untersuche, ob die durch
[mm] f_n(x) [/mm] := [mm] nxe^{-nx^2}, x\in[0,1],
[/mm]
definierte Folge [mm] (f_n)_{n\in\IN} [/mm] von Funktionen [mm] f_n [/mm] : [0,1] [mm] \to \IR [/mm] punktweise bzw. gleichmäßig konvergiert und bestimme gegebenenfalls den Limes. |
wie mache ich das ... was punktweise [mm] (\forall x\in\ID_f \forall\varepsilon [/mm] >0 [mm] \exists N\in\IN \forall n\ge [/mm] N : [mm] |f_n(x)-f(x)|<\varepsilon) [/mm] und gleichmäßige [mm] (\forall\varepsilon [/mm] >0 [mm] \exists N\in\IN \forall x\in\ID_f n\ge [/mm] N : [mm] |f_n(x)-f(x)|<\varepsilon) [/mm] Konvergenz bedeuten ist klar. Aber wie zeige oder widerlege ich selbige? D.h. welchen Rechenweg nutze ich?
Ich habe diese Frage in keinem andern Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:01 Mo 23.04.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
Erst mal rätst du die Grenzfunktion.
[mm] f_n(0)=0; f_n(0,5) [/mm] gegen 0 oder so Vermutung [mm] f_n [/mm] geht gegen 0.
dann musst du zeigen dass [mm] f_n(x)-0 [/mm] klein ist für feste x.
Wenn du keie Ahnung hast, wohin die konv. lass dir das Ding z. Bsp für n=100 plotten.
Damit beweist du punktweise Konv.
für die gleichmäsige musst du zeigen -oder verneinen, ob du ein [mm] N_0 [/mm] finden kansst , so dass für ALLE x [mm] f_n(x)-0<\varepsilon [/mm] für [mm] n>N_0.
[/mm]
wieder kannst du an dem Plot sehen, dass das für kleine x schief geht.
nicht mit der fkt, aber mit entsprechenden gabs in letzter Zeit einige posts, mach dich da mal schlau!
Gruss leduart
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:55 Di 24.04.2007 | | Autor: | Zerwas |
Leider haben mir die andern Post nicht wirklich geholfen das Prinzip zu verstehen :(
Für die Punktweise Konvergenz muss ich ein [mm] \varepsilon [/mm] in Abhängigkeit von x finden, so dass gilt: [mm] |f(x)-f(x_0)|<\varepsilon [/mm] ..aber wie tue ich das allgemein?
Und für die gleichmäßige Kovergenz muss das [mm] \varepsilon [/mm] dann unabhängig von x sein oder? ..aber wie finde ich das :-O ???
Ich wäre für eine Art Struktur wie man da ran geht sehr dankbar.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:50 Di 24.04.2007 | | Autor: | Hund |
Hallo,
also wenn dir eine Funktionenfolge gegeben ist, deren Konvergenzeigenschaften du untersuchen sollst, dann machst du das so:
1. Grenzfunktion bestimmen: [mm] f(x_{0}) [/mm] ist dabei der Wert, gegen den die gewöhnliche Folge [mm] f_{n}(x_{0}) [/mm] konvergiert. Das musst du sozusagen für jeden Wert machen und erhälst eine Grenzfunktion.
Dieser Schritt ist eigentlich gar nicht schwer. In Klausuraufgaben oder Übungsaufgaben sieht man ihn meistens sofort.
Du musst sozusagen den x-Wert als Konstant ansehen und gucken was für n gegen unendlich passiert und wie das vom x-Wert abhängt. Zum Beispiel ist es in deinem Beispiel so, dass in 0 [mm] f_{n} [/mm] stehts 0 ist und in 0 daher auch gegen 0 konvergiert. In den anderen Stellen konvergiert sie aber auch gegen 0, da für große n die exp Funktion gegen 0 geht und der Vorfaktor keinen Einfluss hat.
Also ist deine Grenzfunktion: f(x)=0.
Da eine Grenzfunktion exestiert ist die Funktionenfolge schon mal punktweise konvergent.
2. Schritt: Auf glm. Konvergenz überprüfen.
Dieser Schritt ist eigentlich der "schwere" Teil. Mit dem epsilons und deltas arbeitet man in der Regel nicht. In der Vorlesung hattet ihr doch bestimmt, dass glm. Konvergenz gegen f gerade dazu äquivalent ist, dass:
[mm] \parallelf_{n}-f\parallel [/mm] gegen Null strebt. Dabei ist die sup-Norm gemeint.
Diesen Wert musst du abschätzten und zeigen oder Widerlegen, dass er gegen 0 geht.
In Klausuraufgaben ist es meistens so, dass du das sup leicht abschätzten kannst. Manchmal weis man aber nicht so Recht, wie der Wert für jedes n aussieht. In deinem Beispiel ist es so. Da f=0 musst duden größten Wert des Betrages Funktionenfolge auf [0,1] für jedes n finden. Wählt man x klein, so ist der Vorfaktor klein exp aber groß. Umgekehrt, wählt man x groß, ist exp klein und der Vorfaktor groß. Der Extremwert liegt also irgendwo zwischen [0,1]. In solchen Fällen muss man mit Hilfe der Differentialrechnung die Extremwerte von [mm] f_{n} [/mm] finden. In diesen wird der Betrag der Funktion besonders groß. Dann musst du gucken, ob dieser Betrag gegen 0 strebt, oder nicht.
Ich hoffe, es hat dir geholfen.
Gruß
Hund
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