Konvergenz Funktionenfolge < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:14 Mi 30.04.2014 | | Autor: | Jochen90 |
| Aufgabe | Seii f(x) [mm] 1/n*e^{-n^2*x^2} [/mm] eine Funktionfolge
Zeigen Sie, dass die erste Ableitung von f(x) auf dem Intervall [0,1] punktweise, aber nicht gleichmäßig ist |
Hallo, brauche mal wieder Hilfe
f'(x)= [mm] -2nxe^{-n^2*x^2}
[/mm]
[mm] f'(x)=-2nx/e^{n^2*x^2}
[/mm]
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] = 0
Meine Frage lautet wäre hiermit die punktweise Konvergenz gezeigt?
Wie zeige ich das mit der gleichmäßige Konvergenz?
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] sup |fn(x)-f(x)=0
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:51 Mi 30.04.2014 | | Autor: | fred97 |
> Seii f(x) [mm]1/n*e^{-n^2*x^2}[/mm] eine Funktionfolge
Du meinst sicher [mm]f_n(x)=1/n*e^{-n^2*x^2}[/mm]
>
> Zeigen Sie, dass die erste Ableitung von f(x)
..... Von [mm] f_n(x)...
[/mm]
> auf dem
> Intervall [0,1] punktweise, aber nicht gleichmäßig ist
.. ist ? oder konvergiert ?
> Hallo, brauche mal wieder Hilfe
>
> f'(x)= [mm]-2nxe^{-n^2*x^2}[/mm]
[mm]f_n'(x)=-2nxe^{-n^2*x^2}[/mm]
>
> [mm]f'(x)=-2nx/e^{n^2*x^2}[/mm]
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm] = 0
Wieder schlampig geschrieben !
Ja, es ist [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}f_n'(x)=0 [/mm] für jedes x [mm] \in [/mm] [0,1]
Etwas an Begründungen solltest Du noch spendieren !
>
>
> Meine Frage lautet wäre hiermit die punktweise Konvergenz
> gezeigt?
Wie gesagt: Begründungen !
>
> Wie zeige ich das mit der gleichmäßige Konvergenz?
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm] sup |fn(x)-f(x)=0
>
>
Zunächst ist $0 [mm] \le f_n(x) \le \bruch{1}{n}$ [/mm] für alle x [mm] \in [/mm] [0,1].
Damit konvergiert [mm] (f_n) [/mm] auf [0,1] gleichmäßig gegen 0.
Annahme: [mm] (f_n') [/mm] konvergiert auf [0,1] gleichmäßig gegen 0.
Dann gäbe es zu [mm] \varepsilon=\bruch{1}{e} [/mm] ein N [mm] \in \IN [/mm] mit:
[mm] |f_n'(x)|<\bruch{1}{e} [/mm] für alle x [mm] \in [/mm] [0,1] und alle n>N.
Nun finde eine Folge [mm] (a_n) [/mm] in [0,1] mit
[mm] |f_n'(a_n)|=\bruch{2}{e} [/mm] .
Damit hast Du einen Widerspruch.
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:13 Mi 30.04.2014 | | Autor: | Jochen90 |
Vielen Dank für deine Antwort Fred,
tut mir leid wegen den Schreibfehlern.
Ich verstehe nicht wie man auf [mm] \varepsilon [/mm] =1/e .
Kann es sein dass es der Grenzwert von fn'(x) ist oder kann es sein da fn(x) =1/n < [mm] \varepsilon [/mm] ??
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Wie komm ich zu dieser Folge ? Muss ich da mit Monotonie arbeiten?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:20 Sa 03.05.2014 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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