Konvergenz Folge von Summen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Zeige,dass die durch
[mm] a_n [/mm] = [mm] \summe_{k=1}^{n}\bruch{k^2}{n^3+k}
[/mm]
definierte Folge [mm] (a_n) [/mm] gegen [mm] \bruch{1}{3} [/mm] konvergiert. |
Hallo,
ich weiß schon in etwa wie ich vorgehen muss, nämlich die Folge ein wenig abändern sodass ich 2 neue folgen erhalte mit [mm] b_n [/mm] < [mm] a_n [/mm] < [mm] c_n
[/mm]
und dann zeigen das [mm] b_n [/mm] und [mm] c_n [/mm] gegen 1/3 konvergieren, dann muss es [mm] a_n [/mm] auch (Nach einem Satz)
Was mich hier aber unsicher macht ist das die Folgenglieder über Summen definiert sind. Wie gehe ich hier vor um die Konvergenz zu zeigen und Grenzwert zu bestimmen?
Danke im Voraus
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Vielleicht könnte mir ja die Formel für die Summe der Quadratzahlen
im Zähler helfen, im Nenner die Summe der Zahlen von 1-n aber ich krieg irgendwie nicht hin das [mm] n^3 [/mm] loszuwerden -.-
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Hallo helicopter,
> Vielleicht könnte mir ja die Formel für die Summe der
> Quadratzahlen
Ja, das hilft ungemein weiter.
> im Zähler helfen, im Nenner die Summe der Zahlen von 1-n
> aber ich krieg irgendwie nicht hin das [mm]n^3[/mm] loszuwerden -.-
Poste doch Deine bisherigen Rechenschritte.
Gruss
MathePower
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Hallo helicopter,
> Zeige,dass die durch
>
> [mm]a_n[/mm] = [mm]\summe_{k=1}^{n}\bruch{k^2}{n^3+k}[/mm]
>
> definierte Folge [mm](a_n)[/mm] gegen [mm]\bruch{1}{3}[/mm] konvergiert.
> Hallo,
>
> ich weiß schon in etwa wie ich vorgehen muss, nämlich die
> Folge ein wenig abändern sodass ich 2 neue folgen erhalte
> mit [mm]b_n[/mm] < [mm]a_n[/mm] < [mm]c_n[/mm]
> und dann zeigen das [mm]b_n[/mm] und [mm]c_n[/mm] gegen 1/3 konvergieren,
> dann muss es [mm]a_n[/mm] auch (Nach einem Satz)
>
Die Idee ist richtig.
Nun gilt es zwei solche Folgen zu finden.
Das machst Du am besten, in dem Du den Ausdruck in der Summe
einmal nach oben und einmal nach unten abschätzt.
> Was mich hier aber unsicher macht ist das die Folgenglieder
> über Summen definiert sind. Wie gehe ich hier vor um die
> Konvergenz zu zeigen und Grenzwert zu bestimmen?
>
Siehe oben.
> Danke im Voraus
Gruss
MathePower
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Also ich habe glaub ich zumindest geschafft nach unten abzuschätzen indem ich den Ausdruck zu [mm] \bruch{k^2}{n^2+k} [/mm] abgeändert hab, dieser erfüllt ja die bedingung das die folgenglieder [mm] \ge \bruch{k^2}{n^3+k} [/mm] für alle n
Grenzwert kommt tatsächlich 1/3 raus jetz muss ich nur noch nach oben abschätzen denke ich.
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Hallo helicopter,
> Also ich habe glaub ich zumindest geschafft nach unten
> abzuschätzen indem ich den Ausdruck zu [mm]\bruch{k^2}{n^2+k}[/mm]
> abgeändert hab, dieser erfüllt ja die bedingung das die
> folgenglieder [mm]\ge \bruch{k^2}{n^3+k}[/mm] für alle n
Hier ist wohl eher
[mm] \bruch{k^2}{n^3+k} \ge \bruch{k^2}{n^3+\blue{n}}[/mm]
gemeint.
> Grenzwert kommt tatsächlich 1/3 raus jetz muss ich nur
> noch nach oben abschätzen denke ich.
Ja, den Ausdruck schätzt Du nach oben ab,
in dem Du den Nenner nach unten abschätzt.
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:22 Mo 21.05.2012 | | Autor: | helicopter |
Vielen Dank, ich glaub ich habs jetzt :)
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