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Forum "Folgen und Reihen" - Konvergenz Folge mit Wurzel
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Konvergenz Folge mit Wurzel: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:04 Sa 12.11.2011
Autor: Kamillentee

Aufgabe
Wenn [mm] (a_{n})_{n\in \IN} \subset \IR_{+} [/mm] gegen a konvergiert, dann
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\wurzel{a_{n}} [/mm] = [mm] \wurzel{a} [/mm]

Hallo zusammen

obige Frage ist mir kürzlich über den Weg gelaufen.
Intuitiv scheint sie klar zu sein, beweisen kann ich sie kläglicherweise allerdings nicht...

Meine erste Herangehensweise, mit den Definitionen zu spielen und durch Umformung der Betragsterme auf das Ergebnis zu kommen, hat leider nicht geklappt.
Dann habe ich versucht, meine Intuition zu 'formalisieren'. (i) Die Wurzelfunktion ist streng monoton steigend und für die Folge hier anwendbar, da [mm] \subset \IR_{+}. [/mm] (ii) Wenn die Abstände von [mm] a_{n} [/mm] zu a immer kleiner werden, dann auch die Wurzel der Folgeglieder zu der Wurzel des Grenzwerts. Also muss sich die Funktion [mm] \wurzel{a} [/mm] beliebig nah annähern.

Ich wäre euch sehr verbunden, wenn ich einen Tipp (!) bekommen könnte.
Sollte ich mit (1) oder (2) weiter herumprobieren?

        
Bezug
Konvergenz Folge mit Wurzel: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:17 Sa 12.11.2011
Autor: leduart

hallo
einfach [mm] \wurzel{a_n}-\wurzel{a} [/mm] abschätzen,durch [mm] a_n-a [/mm] ; erweitern mit [mm] \wurzel{a_n}+\wurzel{a} [/mm] hilft dabei
Gruss leduart


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