Konvergenz Folge < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hey Leute,
ich möchte gucken ob [mm] a_{n}= -\bruch{(-1)^{n}n}{n+1} [/mm] konvergiert.
Meine Idee war: [mm] Leibniz\Rightarrow\limes_{n\rightarrow\infty}-\bruch{n}{n+1}=\limes_{n\rightarrow\infty}-\bruch{1}{1+\bruch{1}{n}}=-\bruch{1}{1}=-1
[/mm]
jetzt bin ich mir nicht sicher, ob die Folge einen oder zwei Häufungspunkte hat und somit konvergent oder divergent ist (wegen des [mm] (-1)^{n} [/mm] was ich weggelassen habe). Muss beim Leibniz-Kriterium die Folge eine Nullfolge sein, damit sie konvergiert?
Beste Grüße
Kano
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Hallo,
möchtest du eine Folge oder eine Reihe untersuchen? Das Leibniz-Kriterium jedenfalls wendet man für die Untersuchung von Reiehnkonvergenz (in bestimmten Fällen) an.
Als Folge ist das natürlich divergent: der Grenzwert des absoluten Folgenglieds ist 1 und das Vorzeichen alterniert. Damit dürft auch für den Fall, dass du eine Reihe untersuchen möchtest, alles geklärt sein: [mm] a_n [/mm] müsste dann eine monotone Nullfolge sein, sonst kann man Leibniz gar nicht anwenden.
Gruß, Diophant
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Alles klar, Danke 
Es soll schon eine Folge sein. Keine Reihe.
Wie untersuche ich denn eine solche Folge korrekt auf Konvergenz, da das Leibniz-Kriterium ja nur bei Reihen gilt(danke für die Richtigstellung )
Und :D ich hake schon bei der zweiten Folge: [mm] b_{n}=\bruch{8cos(n\bruch{\pi}{2})}{4+n} [/mm] hier habe ich absolut keine Ahnung wie ich rangehen soll. ich weiß, dass der cos regelmäßig Null wird. Aber helfen tut mir das wenig....
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achso:
die Folge [mm] b_{2n+1}\equiv0 [/mm] allerdings ist [mm] b_{4n}\not=0 \forall n\in\IN [/mm] Dennoch werden die Werte von [mm] b_{4n} [/mm] immer kleiner, was vermuten lässt, [mm] b_{4n} [/mm] gegen Null geht.... mhm... ich weiß noch nicht so recht, was ich damit anfangen soll :-P oder ich habe einen Dreher in meinen Gedanken....
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:43 Do 03.05.2012 | | Autor: | barsch |
> achso:
>
> die Folge [mm]b_{2n+1}\equiv0[/mm] allerdings ist [mm]b_{4n}\not=0 \forall n\in\IN[/mm]
> Dennoch werden die Werte von [mm]b_{4n}[/mm] immer kleiner, was
> vermuten lässt, [mm]b_{4n}[/mm] gegen Null geht.... mhm... ich
> weiß noch nicht so recht, was ich damit anfangen soll :-P
> oder ich habe einen Dreher in meinen Gedanken....
Siehst du, das passiert, wenn man nur den Zähler, aber nicht den Nenner betrachtet ![[bonk]](/images/smileys/bonk.gif "[bonk]")
Dann was anderes: Du kannst ja über cos sagen, dass [mm]-1\leq{cos(x)}\leq1[/mm].
Also ist:
[mm]-\bruch{8}{4+n}\leq{b_n}\leq{\bruch{8}{4+n}}[/mm]
Jetzt betrachte
[mm]\limes_{n\rightarrow\infty} -\bruch{8}{4+n}[/mm] und
[mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{8}{4+n}[/mm].
Was gilt dann für
[mm]\limes_{n\rightarrow\infty} b_n[/mm]
Gruß
barsch
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ahhhh das eine geht gegen [mm] -\bruch{1}{2} [/mm] und das andere gegen [mm] \bruch{1}{2} [/mm] also divergiert die Folge, weil das Quetschlemma(?) versagt ?
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Haha :D tut mir leid, alles mein Fehler. Natürlich geht beides gegen Null.... aber! was sagt mir das? :D
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:40 Do 03.05.2012 | | Autor: | barsch |
> Haha :D tut mir leid, alles mein Fehler. Natürlich geht
> beides gegen Null.... aber! was sagt mir das? :D
Naja, jetzt mal ins Skript schauen. Du hattest doch vorhin schon mal das Quetschlemma angesprochen - auch Sandwich-Theorem genannt. Daraus folgt dann, dass
[mm]\limes_{n\rightarrow\infty} b_n=0[/mm]
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Perfekt Danke. Und ist Null dann auch der Grenzwert?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:48 Do 03.05.2012 | | Autor: | barsch |
> Perfekt Danke. Und ist Null dann auch der Grenzwert?
Du solltest dich noch ein wenig mit Grenzwerten beschäftigen, wie ich an der Frage merke. Ja, 0 ist der Grenzwert.
Gruß
barsch
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:51 Do 03.05.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> ahhhh das eine geht gegen [mm]-\bruch{1}{2}[/mm] und das andere
> gegen [mm]\bruch{1}{2}[/mm] also divergiert die Folge, weil das
> Quetschlemma(?) versagt ?
was ist denn das für eine Logik? Kannst Du mal erklären, wie Du darauf kommst? (Also unabhängig davon, dass Deine Behauptung, dass links etwas steht, dass gegen [mm] $-1/2\,$ [/mm] streben würde und rechts etwas, dass gegen [mm] $1/2\,$ [/mm] streben würde - nicht stimmt. Hier greift, wie Du im Rest der Diskussion ja gesehen hast, das Sandwichlemma DOCH!)
Man lernt Kontraposition, aber das ist ja was ganz anderes als das, was Du da (verzeih' meine Ausdrucksweise) "verzapfst".
Die Kontraposition von $A [mm] \Rightarrow [/mm] B$ lautet [mm] $(\neg \red{B}) \Rightarrow (\neg \red{A})\,.$
[/mm]
Also als Beispiel:
Die Kontraposition zu
"Wenn es regnet, dann ist die Straße nass!"
lautet
"Wenn die Straße nicht nass ist, dann regnet es auch nicht."
Du kannst nämlich nicht schließen, dass, wenn die Straße nass ist, es auch regnet. Vielleicht ist gerade Hochwasser...
Zurück zum Thema, damit Du das auch da einsiehst:
Es gilt ja auch $-1-1/n [mm] \le [/mm] 1/n [mm] \le 1+1/n\,,$ [/mm] und dennoch strebt $1/n [mm] \to 0\,.$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Korrektur) fundamentaler Fehler  | | Datum: | 22:40 Do 03.05.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo,
>
>
> > Alles klar, Danke
> >
> > Es soll schon eine Folge sein. Keine Reihe.
> >
> > Wie untersuche ich denn eine solche Folge korrekt auf
> > Konvergenz, da das Leibniz-Kriterium ja nur bei Reihen
> > gilt(danke für die Richtigstellung )
>
> da gibt es mehrere Möglichkeiten. Vielleicht noch mal
> einen Blick ins Skript werfen.
>
> Noch mal zu: [mm]a_{n}= -\bruch{(-1)^{n}n}{n+1}[/mm]
>
> Hier kannst du zum Beispiel die beiden Teilfolgen [mm]a_{2n}[/mm]
> und [mm]a_{2n+1}[/mm] betrachten. Du erhälst -1 und 1 als
> Häufungspunkte. Die Reihe divergiert also.
>
> >
> > Und :D ich hake schon bei der zweiten Folge:
> > [mm]b_{n}=\bruch{8cos(n\bruch{\pi}{2})}{4+n}[/mm] hier habe ich
> > absolut keine Ahnung wie ich rangehen soll. ich weiß, dass
> > der cos regelmäßig Null wird. Aber helfen tut mir das
> > wenig....
>
> Do das hilft schon.
> Hier würde ich auch versuchen, Teilfolgen zu betrachten.
> Für [mm]b_{2n+1}[/mm] gilt:
>
> [mm]b_{2n+1}=\bruch{8cos((2n+1)*\bruch{\pi}{2})}{4+2n+1}=0[/mm]
>
> Für die Teilfolge [mm]b_{4n}[/mm] gilt das aber nicht. Es liegt
> also die Vermutung nahe, dass die Folge divergiert... Was
> lässt sich über die Teilfolge [mm]b_{4n}[/mm] sagen? Warum
> divergiert die Folge dann?
>
bitte? Die Folge [mm] $(8\cos((2n+1)*\pi/2)/(4+2n+1))_n$ [/mm] ist in sehr banaler Weise eine Nullfolge, es gilt nämlich der leicht zu beweisende Satz:
Ist [mm] $(a_n)_n$ [/mm] beschränkt und strebt [mm] $|b_n| \to \infty\,,$ [/mm] so folgt [mm] $a_n/b_n \to [/mm] 0$ bei $n [mm] \to \infty\,.$
[/mm]
Und eine Folge [mm] $(8*cos(irgendwas\;\; reelles(n)))_n$ [/mm] ist offenbar durch [mm] $8\,$ [/mm] beschränkt (wegen [mm] $|\cos(r)| \le [/mm] 1$ für alle reellen [mm] $r\,$).
[/mm]
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:46 Do 03.05.2012 | | Autor: | barsch |
Die Antwort war natürlich falsch. In der weiteren Diskussion ist aber die korrekte Lösung erörtert worden, weswegen ich den Artikel nicht verändert hatte.
Aber das spricht eben für das Forum - Fehler werden schnell erkannt ![[grins]](/images/smileys/grins.gif "[grins]")
Viele Grüße
barsch
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