Konvergenz ESV/GSV < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:59 Mo 31.03.2014 | | Autor: | lisa2802 |
| Aufgabe | Finden Sie alle [mm] \beta \in \IR, [/mm] die gleichzeitig auf Konvergenz des Einzel- (Gauß-Seidel) und Gesamtschrittverfahrens (Jacobi) für die Matrix
[mm] T=\pmat{ -10 & 2 \\ \beta & 5 }
[/mm]
führen. |
Hallo ihr Lieben,
Wir haben einen Satz im Skirpt :
" Es sei [mm] T_{ii} \not= [/mm] 0 (i=1,2,...,n) und
[mm] |T_{ii}| \ge \summe_{j=1, j\not= i}^{n} |T_{ij}| [/mm] (i=1,2,...,n)
wobei es ein i gebe, so dass Ungleicheit besteht. Außerdem sei T unzerlegbar. Dann konvergieren Einzelschittverfahren und Gesamtschrittverfahren (für jeden Startwert)."
und
" Eine Matric A [mm] \in \IC^{nxn}, A=(a_{ij})_{i,j=1,2,...,n} [/mm] heißt zerlegbar, wenn es nichtleere Teilmengen [mm] N_{1} [/mm] und [mm] N_{2} [/mm] der Indexmenge N:={1,2,...,n} gibt mit den Eigenschaften
a) [mm] N_{1} \cap N_{2} [/mm] = [mm] \emptyset
[/mm]
b) [mm] N_{1} \cup N_{2} [/mm] = N
c) [mm] a_{ij} [/mm] = 0 für alle i [mm] \in N_{1} [/mm] und j [mm] \in N_{2}.
[/mm]
Eine Matrix, die nicht zerlegbar ist, heißt unzerlegbar."
Als erstes prüfe ich die Zerlegbarkeit
[mm] N_{1}={1} [/mm] und [mm] N_{2}={2}
[/mm]
a) [mm] N_{1} \cap N_{2} [/mm] = {1} [mm] \cap [/mm] {2} [mm] =\emptyset
[/mm]
b) [mm] N_{1} \cup N_{2} [/mm] = {1} [mm] \cup [/mm] {2} = {1,2} = N
c) [mm] a_{12} \not= [/mm] für alle i [mm] \in N_{1} [/mm] und j [mm] \in N_{2}. [/mm]
c) nicht erfüllt => unzerlegbar!
[mm] |T_{11}|=|-10|=10 \ge \summe_{j=1, j\not= i}^{2} |T_{ij}| [/mm] = [mm] |T_{12}| +|T_{21}| [/mm] = 2 + [mm] \beta [/mm] => 8 [mm] \ge \beta
[/mm]
und
[mm] |T_{22}|=|5|=5 \ge \summe_{j=1, j\not= i}^{2} |T_{ij}| [/mm] = [mm] |T_{12}| +|T_{21}| [/mm] = 2 + [mm] \beta [/mm] => 3 [mm] \ge \beta
[/mm]
Summiere ich hier überhaupt richtig auf?
Zum schluss würde darauf ja folgern
Konvergenz für ESV und GSV für alle [mm] \beta \le [/mm] 3
oder ist das falsch?
lieben Gruß und Danke
Lisa
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:25 Mo 31.03.2014 | | Autor: | DieAcht |
Hallo Lisa,
> Finden Sie alle [mm]\beta \in \IR,[/mm] die gleichzeitig auf
> Konvergenz des Einzel- (Gauß-Seidel) und
> Gesamtschrittverfahrens (Jacobi) für die Matrix
>
> [mm]T=\pmat{ -10 & 2 \\ \beta & 5 }[/mm]
>
> führen.
Nette Aufgabe.
> Hallo ihr Lieben,
>
> Wir haben einen Satz im Skirpt :
>
> " Es sei [mm]T_{ii} \not=[/mm] 0 (i=1,2,...,n) und
>
> [mm]|T_{ii}| \ge \summe_{j=1, j\not= i}^{n} |T_{ij}|[/mm]
> (i=1,2,...,n)
>
> wobei es ein i gebe, so dass Ungleicheit besteht. Außerdem
> sei T unzerlegbar. Dann konvergieren Einzelschittverfahren
> und Gesamtschrittverfahren (für jeden Startwert)."
>
> und
>
> " Eine Matric A [mm]\in \IC^{nxn}, A=(a_{ij})_{i,j=1,2,...,n}[/mm]
> heißt zerlegbar, wenn es nichtleere Teilmengen [mm]N_{1}[/mm] und
> [mm]N_{2}[/mm] der Indexmenge N:={1,2,...,n} gibt mit den
> Eigenschaften
> a) [mm]N_{1} \cap N_{2}[/mm] = [mm]\emptyset[/mm]
> b) [mm]N_{1} \cup N_{2}[/mm] = N
> c) [mm]a_{ij}[/mm] = 0 für alle i [mm]\in N_{1}[/mm] und j [mm]\in N_{2}.[/mm]
>
> Eine Matrix, die nicht zerlegbar ist, heißt unzerlegbar."
>
> Als erstes prüfe ich die Zerlegbarkeit
>
> [mm]N_{1}={1}[/mm] und [mm]N_{2}={2}[/mm]
> a) [mm]N_{1} \cap N_{2}[/mm] = {1} [mm]\cap[/mm] {2} [mm]=\emptyset[/mm]
> b) [mm]N_{1} \cup N_{2}[/mm] = {1} [mm]\cup[/mm] {2} = {1,2} = N
> c) [mm]a_{12} \not=[/mm] für alle i [mm]\in N_{1}[/mm] und j [mm]\in N_{2}.[/mm]
>
> c) nicht erfüllt => unzerlegbar!
> [mm]|T_{11}|=|-10|=10 \ge \summe_{j=1, j\not= i}^{2} |T_{ij}|[/mm]
> = [mm]|T_{12}| +|T_{21}|[/mm] = 2 + [mm]\beta[/mm] => 8 [mm]\ge \beta[/mm]
>
> und
>
> [mm]|T_{22}|=|5|=5 \ge \summe_{j=1, j\not= i}^{2} |T_{ij}|[/mm] =
> [mm]|T_{12}| +|T_{21}|[/mm] = 2 + [mm]\beta[/mm] => 3 [mm]\ge \beta[/mm]
Nein. ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
[mm] |T_{1,1}|=|-10|=10\ge\summe_{i\not=j=1,}^{2}|T_{i,j}|=|T_{1,2}|=2
[/mm]
[mm] \Rightarrow \exists i\in\{1,2\} [/mm] mit [mm] |T_{i,i}|>\summe_{i\not=j=1,}^{2}|T_{i,j}.
[/mm]
[mm] |T_{2,2}|=|5|=5\overset{!}{\ge}\summe_{i\not=j=1,}^{2}|T_{i,j}|=|T_{2,1}|=|\beta|
[/mm]
[mm] $\Rightarrow |\beta|\le [/mm] 5$.
> Summiere ich hier überhaupt richtig auf?
> Zum schluss würde darauf ja folgern
>
> Konvergenz für ESV und GSV für alle [mm]\beta \le[/mm] 3
>
> oder ist das falsch?
Du musst im Grunde ein abgeschwächten Kriterium benutzen um
für einen möglichst großes reelle Intervall von [mm] \beta [/mm] Konvergenz
für alle Startvektoren [mm] x_0\in\IR^n [/mm] zu erhalten. Das liegt übrigens
daran, dass wir normalerweise einfach sagen würde, dass $T$
irreduzibel diagonaldominant ist, aber damit zeigen wir nur,
dass $T$ für alle Startvektoren [mm] x_0\in\IR^n [/mm] konvergiert. Wir wollen
aber gerade $T$ so bestimmen, sodass beide Verfahren für alle
Startvektoren [mm] x_0\in\IR^n [/mm] konvergieren und aus diesem Grund benutz-
en wir den abgeschwächten Satz dazu.
Du zeigst also hier folgendes:
1) Für alle [mm] i\in\{1,\ldots,n\} [/mm] gilt:
[mm] |T_{i,i}|\ge\sum_{i\not=j}^{n}|T(i,j)|.
[/mm]
2) Es existiert mindestens ein Index [mm] i\in\{1,\ldots,n\} [/mm] mit
[mm] |T_{i,i}|>\sum_{i\not=j}^{n}|T(i,j)|.
[/mm]
3) $T$ ist unzerlegbar.
Übrigens kannst du, soweit ihr das schon hattet im Studium,
die Eigenschaft benutzen, dass $T$ unzerlegbar ist genau dann,
wenn $T$ irreduzibel ist. Das ist sehr anschaulich.
Im Grunde bist du also fertig. Mach dir das nur nochmal klar
mit den Summen, denn das ist sehr wichtig. In Worten vielleicht:
Die Diagonaleinträge mussen bei 1) im Betrag nicht kleiner
sein als die Summe der anderen Einträge (jeweils nehmen wir
von jeder Summe den Betrag) auf der jeweiligen Zeile. Dabei
ist [mm] i\not=j, [/mm] damit wir nicht den Diagonaleintrag dazuaddieren.
> lieben Gruß und Danke
>
> Lisa
Gruß
DieAcht
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:42 Mo 31.03.2014 | | Autor: | lisa2802 |
>
> Nein.
>
> [mm]|T_{1,1}|=|-10|=10\ge\summe_{i\not=j=1,}^{2}|T_{i,j}|=|T_{1,2}|=2[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow \exists i\in\{1,2\}[/mm] mit
> [mm]|T_{i,i}|>\summe_{i\not=j=1,}^{2}|T_{i,j}.[/mm]
>
> [mm]|T_{2,2}|=|5|=5\overset{!}{\ge}\summe_{i\not=j=1,}^{2}|T_{i,j}|=|T_{2,1}|=|\beta|[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow |\beta|\le 5[/mm].
Das habe ich mir schon gedacht! Sehr gut  Danke!
> Du musst im Grunde ein abgeschwächten Kriterium benutzen
> um
> für einen möglichst großes reelle Intervall von [mm]\beta[/mm]
> Konvergenz
> für alle Startvektoren [mm]x_0\in\IR^n[/mm] zu erhalten. Das liegt
> übrigens
> daran, dass wir normalerweise einfach sagen würde, dass
> [mm]T[/mm]
> irreduzibel diagonaldominant ist, aber damit zeigen wir
> nur,
> dass [mm]T[/mm] für alle Startvektoren [mm]x_0\in\IR^n[/mm] konvergiert.
> Wir wollen
> aber gerade [mm]T[/mm] so bestimmen, sodass beide Verfahren für
> alle
> Startvektoren [mm]x_0\in\IR^n[/mm] konvergieren und aus diesem
> Grund benutz-
> en wir den abgeschwächten Satz dazu.
>
> Du zeigst also hier folgendes:
>
> 1) Für alle [mm]i\in\{1,\ldots,n\}[/mm] gilt:
>
> [mm]|T_{i,i}|\ge\sum_{i\not=j}^{n}|T(i,j)|.[/mm]
>
> 2) Es existiert mindestens ein Index [mm]i\in\{1,\ldots,n\}[/mm]
> mit
>
> [mm]|T_{i,i}|>\sum_{i\not=j}^{n}|T(i,j)|.[/mm]
>
> 3) [mm]T[/mm] ist unzerlegbar.
>
Die 3 Punkte habe ich doch mit deiner Verbesserung gezeigt oder?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:52 Mo 31.03.2014 | | Autor: | DieAcht |
> Die 3 Punkte habe ich doch mit deiner Verbesserung gezeigt
> oder?
Ja, es war nur ein weiterer Hinweis von mir.
Gruß
DieAcht
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:54 Mo 31.03.2014 | | Autor: | lisa2802 |
Super. Gut, dass hat mich nur ein bisschen verwirrt.
DANKE
|
|
|
|
