Konvergenz, Divergenz < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:13 Di 23.11.2010 | | Autor: | LoBi83 |
| Aufgabe | Es seien [mm] a_0,...,a_k [/mm] und [mm] b_0,..., b_l [/mm] reelle Zahlen, so dass ak [mm] \not= [/mm] 0 und bl [mm] \not= [/mm] 0.
Zeigen Sie, dass
[mm] \summe_{i=1}^{\infty} \bruch{a_0+ a_1 n+...+a_k n^k}{b_0+ b_1 n+...+b_l n^l}
[/mm]
divergiert, wenn k ≥ l − 1 und dass die Reihe konvergiert, wenn k ≤ l − 2. |
Ich weiss nicht so recht wie ich an obige Aufgabe ran gehen soll.
Habe zunächst versucht für beide Fälle die Reihen aufzustellen.
k ≥ l − 1
[mm] \summe_{i=1}^{\infty} \bruch{a_0+ a_1 n+...+a_k n^k+a_{k+1} n^{k+1}+ ....}{b_0+ b_1 n+...+b_l n^l}
[/mm]
k ≤ l − 2
[mm] \summe_{i=1}^{\infty} \bruch{a_0+ a_1 n+...+a_{l-2 n^{l-2}}}{b_0+ b_1 n+...+b_l n^l+ ....}
[/mm]
Mir ist natürlich klar das im 1. Fall die Reihe divergiert, da der Exponent im Zähler größer als der im Nenner ist, und im 2. Fall konvergiert weil der Exponent im Nenner kleiner ist.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:36 Di 23.11.2010 | | Autor: | abakus |
> Es seien [mm]a_0,...,a_k[/mm] und [mm]b_0,..., b_l[/mm] reelle Zahlen, so
> dass ak [mm]\not=[/mm] 0 und bl [mm]\not=[/mm] 0.
> Zeigen Sie, dass
> [mm]\summe_{i=1}^{\infty} \bruch{a_0+ a_1 n+...+a_k n^k}{b_0+ b_1 n+...+b_l n^l}[/mm]
>
> divergiert, wenn k ≥ l − 1 und dass die Reihe
> konvergiert, wenn k ≤ l − 2.
> Ich weiss nicht so recht wie ich an obige Aufgabe ran
> gehen soll.
Ich auch nicht. Dein Summenzeichen hat eine Laufvariable i , die im Term
[mm] \bruch{a_0+ a_1 n+...+a_k n^k}{b_0+ b_1 n+...+b_l n^l} [/mm] gar nicht vorkommt.
Somit wäre [mm] \bruch{a_0+ a_1 n+...+a_k n^k}{b_0+ b_1 n+...+b_l n^l} [/mm] ein konstanter Wert, und die Summe wäre
" [mm] \infty*\bruch{a_0+ a_1 n+...+a_k n^k}{b_0+ b_1 n+...+b_l n^l} [/mm] ".
Gruß Abakus
> Habe zunächst versucht für beide Fälle die Reihen
> aufzustellen.
>
> k ≥ l − 1
> [mm]\summe_{i=1}^{\infty} \bruch{a_0+ a_1 n+...+a_k n^k+a_{k+1} n^{k+1}+ ....}{b_0+ b_1 n+...+b_l n^l}[/mm]
>
> k ≤ l − 2
> [mm]\summe_{i=1}^{\infty} \bruch{a_0+ a_1 n+...+a_{l-2 n^{l-2}}}{b_0+ b_1 n+...+b_l n^l+ ....}[/mm]
>
> Mir ist natürlich klar das im 1. Fall die Reihe
> divergiert, da der Exponent im Zähler größer als der im
> Nenner ist, und im 2. Fall konvergiert weil der Exponent im
> Nenner kleiner ist.
>
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 14:25 Mi 24.11.2010 | | Autor: | LoBi83 |
Der Laufindex muss natürlich n sein.
Ich habe mir nun erstmal folgendes überlegt:
für k [mm] \le [/mm] l-2
Ich kenne ja die konvergente Reihe [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{n^i} [/mm] für i > 1
Dann setze ich ersmal k=l-2 und i=l+1 , um ne höhere Potenz zu erhalten dann zeige ich das $ [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{a_0+ a_1 n+...+a_k n^k}{b_0+ b_1 n+...+b_l n^l} <\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{n^i} [/mm] $ ist. Das wäre ja ein Induktionsanfang?
Dann müsste ich noch zeigen das
$ [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{a_0+ a_1 n+...+a_k n^k}{b_0+ b_1 n+...+b_{l+1} n^{l+1}} <\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{n^{i+1}} [/mm] $
Ist der Ansatz erstmal so Ok?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:20 Fr 26.11.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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