Konvergenz /Divergenz < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:22 Di 04.12.2018 | | Autor: | studiseb |
| Aufgabe | | Testen Sie [mm] \summe_{k=2}^{\infty}(\bruch{1}{k+1}-\bruch{1}{k-1}) [/mm] auf Konvergenz/Divergenz. |
Liebes Forum, mir fehlt bei dieser Aufgabe noch die richtige Begründung und ich würde mich freuen wenn ihr mir da weiter helfen könntet. DANKE!
Ich habe [mm] \summe_{k=2}^{\infty}(\bruch{1}{k+1}-\bruch{1}{k-1}) [/mm] umgeformt zu [mm] -2\summe_{k=2}^{\infty}(\bruch{1}{k^2-1}) [/mm] aber wie muss ich jetzt weiter machen?
LG
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:23 Di 04.12.2018 | | Autor: | fred97 |
> Testen Sie
> [mm]\summe_{k=2}^{\infty}(\bruch{1}{k+1}-\bruch{1}{k-1})[/mm] auf
> Konvergenz/Divergenz.
> Liebes Forum, mir fehlt bei dieser Aufgabe noch die
> richtige Begründung und ich würde mich freuen wenn ihr
> mir da weiter helfen könntet. DANKE!
>
> Ich habe
> [mm]\summe_{k=2}^{\infty}(\bruch{1}{k+1}-\bruch{1}{k-1})[/mm]
> umgeformt zu [mm]-2\summe_{k=2}^{\infty}(\bruch{1}{k^2-1})[/mm] aber
> wie muss ich jetzt weiter machen?
>
> LG
Für n [mm] \ge [/mm] 2 sei $ [mm] s_n:= \summe_{k=2}^{n}(\bruch{1}{k+1}-\bruch{1}{k-1}) [/mm] $
Schreibe s_ n in der Form
[mm] $s_n= \summe_{k=2}^{n}(\bruch{1}{k+1}-\bruch{1}{k})+ \summe_{k=2}^{n}(\bruch{1}{k}-\bruch{1}{k-1})$
[/mm]
Die beiden Summen rechts sind Teleskopsummen ! Die kannst Du ausrechnen, dann solltest Du sehen, dass [mm] (s_n) [/mm] konvergiert.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:24 Mi 05.12.2018 | | Autor: | studiseb |
Guten Morgen und vielen Dank für den Tipp mit den Teleskopsummen.
Ich habe dann wie folgt weiter gemacht:
[mm] ...\summe_{k=2}^{n}(\bruch{1}{k+1})+\summe_{k=2}^{n}(\bruch{1}{k+1})=-\bruch{1}{2}+\bruch{1}{n+1}+-1+\bruch{1}{n}=-1,5+\bruch{1}{1+n}+\bruch{1}{n}=-1,5 [/mm] (wenn n [mm] \to \infty)
[/mm]
Somit exisiterit ein Grenzwert bei -1,5 und wir haben Konvergenz.
Kann ich das so machen?
Viele Grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:34 Mi 05.12.2018 | | Autor: | fred97 |
> Guten Morgen und vielen Dank für den Tipp mit den
> Teleskopsummen.
>
> Ich habe dann wie folgt weiter gemacht:
>
> [mm]...\summe_{k=2}^{n}(\bruch{1}{k+1})+\summe_{k=2}^{n}(\bruch{1}{k+1})=-\bruch{1}{2}+\bruch{1}{n+1}+-1+\bruch{1}{n}=-1,5+\bruch{1}{1+n}+\bruch{1}{n}=-1,5[/mm]
> (wenn n [mm]\to \infty)[/mm]
Der Ausdruck ganz links ist natürlich falsch. Richtig ist
$ [mm] \summe_{k=2}^{n}(\bruch{1}{k+1}-\bruch{1}{k})+ \summe_{k=2}^{n}(\bruch{1}{k}-\bruch{1}{k-1}) [/mm] $.
Und ganz am Ende ist
[mm] -1,5+\bruch{1}{1+n}+\bruch{1}{n}=-1,5
[/mm]
auch nicht korrekt. Korrekt ist
[mm] -1,5+\bruch{1}{1+n}+\bruch{1}{n} \to [/mm] -1,5 für n [mm] \to \infty.
[/mm]
>
> Somit exisiterit ein Grenzwert bei -1,5 und wir haben
> Konvergenz.
> Kann ich das so machen?
Ja, wenn Du die nötigen Korrekturen anbringst.
>
> Viele Grüße
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:43 Mi 05.12.2018 | | Autor: | studiseb |
Vielen Dank und den linken Ausdruck hab ich wohl falsch kopiert  Sorry! Aber jetzt ist alles klar. DANKE nochmals!
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