Konvergenz 5 < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:47 Sa 16.02.2013 | | Autor: | Tyson |
| Aufgabe | Hallo ich komme bei einer Aufgabe nicht weiter:
Untersuchen Sie die folgenden Reihen auf Konvergenz bzw. Divergenz. Geben Sie bei den konvergenten Reihen an, ob
diese auch absolut konvergieren.
[mm] \summe_{n=1}^{\infty}\sin(\bruch{1}{n})-\sin(\bruch{1}{n+1})
[/mm]
Ich komme seit stunden nicht weiter und hab gedacht ich frag euch experten. |
nicht gestellt
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:11 Sa 16.02.2013 | | Autor: | fred97 |
> Hallo ich komme bei einer Aufgabe nicht weiter:
>
> Untersuchen Sie die folgenden Reihen auf Konvergenz bzw.
> Divergenz. Geben Sie bei den konvergenten Reihen an, ob
> diese auch absolut konvergieren.
>
> [mm]\summe_{n=1}^{unendlich } sin(\bruch{1}{n}[/mm] ) - sin
> [mm](\bruch{1}{n+1}[/mm] )
>
> Ich komme seit stunden nicht weiter und hab gedacht ich
> frag euch experten.
Die funktion f(x)=sin(x)-x ist monoton fallend (warum ?)
damit ist f(1/n) [mm] \le [/mm] f(1/(n+1))
Also: 0 [mm] \le sin(\bruch{1}{n}) [/mm] - [mm] sin(\bruch{1}{n+1} [/mm] ) [mm] \le [/mm] 1/n-1/(n+1)= [mm] \bruch{1}{n(n+1)}
[/mm]
FRED
> nicht gestellt
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:16 Sa 16.02.2013 | | Autor: | Tyson |
Die funktion ist monoton fallend , hat man ja hiermit bewiesen:
an < an+1
ABer was du da genau in deinem letzten schritt gemacht hast .
Verstehe ich nicht.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:49 Sa 16.02.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Die funktion ist monoton fallend , hat man ja hiermit
> bewiesen:
>
> an < an+1
damit hast Du gar nichts bewiesen. Es geht bei dem, was Du schreibst,
nur darum, dass eine Folge [mm] $(a_n)_n\,,$ [/mm] die Du noch nichtmal irgendwo
definiert hast, monoton fallend ist, genauer: [mm] $(a_n)_{n \in \IN}$ [/mm] ist GENAU
DANN monoton fallend, wenn FÜR ALLE $n [mm] \in \IN$ [/mm] gilt
[mm] $$a_n \red{\;\le\;}a_{n+1}\,.$$
[/mm]
(Wenn man [mm] $<\,$ [/mm] schreibt, hat man "streng monoton fallend"!)
Und das ist nur eine Wiederholung einer "reinen Definition".
Also zurück: Dass [mm] $f(x)=\sin(x)-x\,$ [/mm] ($x [mm] \in \IR$) [/mm] fällt, folgt etwa schnell, weil
[mm] $f\,'(x)=\cos(x)-1 \le [/mm] 0$ für alle $x [mm] \in \IR$ [/mm] gilt.
> ABer was du da genau in deinem letzten schritt gemacht hast .
Ganz einfach: Wir wissen nun, dass [mm] $f(x)=\sin(x)-x\,$ [/mm] monoton fällt (nicht
notwendig streng).
Für jedes $n [mm] \in \IN$ [/mm] wissen wir sodann
[mm] $$\tfrac{1}{n+1} [/mm] < [mm] \tfrac{1}{n} \Rightarrow f(\tfrac{1}{n+1}) \ge f(\tfrac{1}{n})$$
[/mm]
[mm] $$\red{\Rightarrow\;\;\;}\left( \tfrac{1}{n+1} < \tfrac{1}{n} \Rightarrow f(\tfrac{1}{n+1}) - f(\tfrac{1}{n})\ge 0\right)$$
[/mm]
[mm] $$\red{\Rightarrow\;\;\;} \left(\tfrac{1}{n+1} < \tfrac{1}{n} \Rightarrow \sin(\tfrac{1}{n+1})-\tfrac{1}{n+1} - \sin(\tfrac{1}{n}) +\tfrac{1}{n}\ge 0\right)$$
[/mm]
(Dabei kann man jedes [mm] "$\red{\Rightarrow}$" [/mm] auch durch [mm] "$\iff$" [/mm] ersetzen!)
Es folgt also für jedes $n [mm] \in \IN$ [/mm] inbesondere
[mm] $$\sin(\tfrac{1}{n+1})-\tfrac{1}{n+1} [/mm] - [mm] \sin(\tfrac{1}{n}) +\tfrac{1}{n}\ge [/mm] 0$$
und damit
[mm] $$\sin(\tfrac{1}{n+1})-\tfrac{1}{n+1} [/mm] - [mm] \sin(\tfrac{1}{n}) +\tfrac{1}{n}\ge [/mm] 0$$
[mm] $$\iff \sin(\tfrac{1}{n}) -\sin(\tfrac{1}{n+1})\le \frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}=\frac{1}{n*(n+1)}$$
[/mm]
Und offenbar ist auch [mm] $\sin(\tfrac{1}{n}) -\sin(\tfrac{1}{n+1}) \ge [/mm] 0$ für jedes $n [mm] \in \IN$
[/mm]
und daher folgt die Konvergenz von
[mm] $$\sum_{n=1}^\infty \left(\sin(\tfrac{1}{n})-\sin(\tfrac{1}{n+1})\right)$$
[/mm]
wegen der Konvergenz von
[mm] $$\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n*(n+1)}$$
[/mm]
aufgrund des Majorantenkriteriums.
DARAUF WOLLTE FRED HINAUS!
Allerdings: Die Konvergenz von [mm] $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n*(n+1)}$ [/mm] beweist man etwa eben oft, indem man
[mm] $$\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n*(n+1)}=\sum_{n=1}^\infty \left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right)$$
[/mm]
schreibt und dann Wissen über Ziehharmonikareihen (klick!) heranzieht
(ich hatte das in dem Link mal nochmal kurz zusammengetragen). Und
deswegen war Abakus Einwand berechtigt. Denn wenn Du das, was ich in
dem Link über Ziehharmonikareihen zusammengetragen habe, verstehst,
so folgt die Konvergenz von
[mm] $$\sum_{n=1}^\infty \left(\sin(\tfrac{1}{n})-\sin(\tfrac{1}{n+1})\right)$$
[/mm]
mit diesem Wissen sofort, weil die Folge
[mm] $$(a_n)_{n \in \IN}$$
[/mm]
mit
[mm] $$a_n:=\sin(\tfrac{1}{n})\;\;\;(n \in \IN)$$
[/mm]
erfüllt
[mm] $$\lim_{n \to \infty} a_n=\lim_{n \to \infty} \sin(\tfrac{1}{n})= \sin(\lim_{n \to \infty}\tfrac{1}{n})=\sin(0)\;\red{=\;0}\;\;\;\;\text{ (beachte: }\sin\text{ ist stetig in }0\,.\text{)}$$
[/mm]
d.h. [mm] $(\sin(\tfrac{1}{n}))_{n \in \IN}$ [/mm] ist KONVERGENT!
Und wenn Du alles, was in dem Link (klick!) steht, verstanden hast, erkennst Du
auch sofort
[mm] $$\sum_{n=1}^\infty \left(\sin(\tfrac{1}{n})-\sin(\tfrac{1}{n+1})\right)=\;-\;\sum_{n=1}^\infty \left(\sin(\tfrac{1}{n+1})-\sin(\tfrac{1}{n})\right)=-((\lim_{k \to \infty} a_{k+1})-a_1)=-(\red{\;0\;}-\sin(\tfrac{1}{1}))=\sin(1)\,,$$
[/mm]
d.h. wir können hier auch direkt den Grenzwert der Reihe=Reihenwert
angeben (was oft ja hinreichend schwer bei (konvergenten) Reihen ist).
Gruß,
Marcel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:35 Sa 16.02.2013 | | Autor: | abakus |
> Hallo ich komme bei einer Aufgabe nicht weiter:
>
> Untersuchen Sie die folgenden Reihen auf Konvergenz bzw.
> Divergenz. Geben Sie bei den konvergenten Reihen an, ob
> diese auch absolut konvergieren.
>
> [mm]\summe_{n=1}^{unendlich } sin(\bruch{1}{n}[/mm] ) - sin
> [mm](\bruch{1}{n+1}[/mm] )
Hallo,
das ist eine schöne Teleskopsumme.
Gruß Abakus
>
> Ich komme seit stunden nicht weiter und hab gedacht ich
> frag euch experten.
> nicht gestellt
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:06 Sa 16.02.2013 | | Autor: | fred97 |
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> > Hallo ich komme bei einer Aufgabe nicht weiter:
> >
> > Untersuchen Sie die folgenden Reihen auf Konvergenz bzw.
> > Divergenz. Geben Sie bei den konvergenten Reihen an, ob
> > diese auch absolut konvergieren.
> >
> > [mm]\summe_{n=1}^{unendlich } sin(\bruch{1}{n}[/mm] ) - sin
> > [mm](\bruch{1}{n+1}[/mm] )
> Hallo,
> das ist eine schöne Teleskopsumme.
Oh Mann, da war ich aber blind !
FRED
> Gruß Abakus
> >
> > Ich komme seit stunden nicht weiter und hab gedacht ich
> > frag euch experten.
> > nicht gestellt
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