Konvergenz + Grenzwert < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:19 So 18.11.2012 | | Autor: | a93303 |
| Aufgabe | | Prüfen Sie nach, ob an definiert durch [mm] a_{n+1} [/mm] = [mm] a^{4}_{n}, [/mm] mit a0 = [mm] \bruch{1}{2} [/mm] konvergiert, und geben Sie im Falle der Konvergenz den Grenzwert an. |
Hallo,
ich hoffe mir kann hier jemand helfen.
Ich habe diese Aufgabe bekommen und habe keine Idee, wie ich anfangen soll.
Konvergenz und Grenzwert ist klar, Folgen auf Konvergenz prüfen klappt auch aber was ich hier anstellen soll bzw. wie der Ansatz ist, ist mir nicht klar :(
Vielen Dank schon mal!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:29 So 18.11.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Prüfen Sie nach, ob an definiert durch [mm]a_{n+1}[/mm] =
> [mm]a^{4}_{n},[/mm] mit a0 = [mm]\bruch{1}{2}[/mm] konvergiert, und geben Sie
> im Falle der Konvergenz den Grenzwert an.
> Hallo,
>
> ich hoffe mir kann hier jemand helfen.
> Ich habe diese Aufgabe bekommen und habe keine Idee, wie
> ich anfangen soll.
> Konvergenz und Grenzwert ist klar, Folgen auf Konvergenz
> prüfen klappt auch aber was ich hier anstellen soll bzw.
> wie der Ansatz ist, ist mir nicht klar :(
da gibt's viele Möglichkeiten. Du kannst mal, und das solltest Du auch tun,
die Folge in expliziter Form hinschreiben (dabei bitte die explizite Form
auch beweisen)!
Alternativ:
Zeige etwa, dass $0 [mm] \le a_n \le (1/2)^n$ [/mm] gilt ("schlimmstenfalls" per
Induktion).
Auch dann bist Du schnell fertig.
"Ganz böse" alternativ (weil das eigentlich viel zu umständlich ist):
Zeige, dass die Folge durch [mm] $0\,$ [/mm] nach unten beschränkt ist und (streng)
monoton fallend ist. Daraus folgt die Konvergenz der Folge.
Ist [mm] $a\,$ [/mm] dann der Grenzwert, so folgt aus [mm] $a_{n+1}=a_n^4$ [/mm] wegen der
Eindeutigkeit des Grenzwertes dann, dass
[mm] $$a=a^4$$
[/mm]
gelten muss. Bedenkt man nun, dass die Folgenglieder alle sicher [mm] $\le [/mm] 1/2$
bleiben, so ist der Grenzwert [mm] $a\,$ [/mm] damit klar bestimmbar.
Gruß,
Marcel
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