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| Aufgabe | Gegeben seien Reihen [mm] \summe_{k=1}^{\infty} [/mm] ak und [mm] \summe_{k=1}^{\infty} [/mm] bk mit bk [mm] \not= [/mm] 0 für alle k [mm] \in [/mm] N.
1. Beweisen Sie das folgende Konvergenzkriterium:
Existiert der Grenzwert L = [mm] \limes_{k\rightarrow\infty} [/mm] | [mm] \bruch{ak}{bk} [/mm] | und ist L > 0, so konvergiert die Reihe [mm] \summe_{k=1}^{\infty} [/mm] ak
genau dann absolut, wenn die Reihe [mm] \summe_{k=1}^{\infty} [/mm] bk absolut konvergiert.
2. Zeigen Sie mit diesem Kriterium die Konvergenz der Reihe [mm] \summe_{k=1}^{\infty} (\alpha [/mm] + [mm] \beta k)^{-s} [/mm] für [mm] \beta [/mm] > 0 und s > 1. Hinweis: Die Reihe [mm] \summe_{k=1}^{\infty} k^{-s} [/mm] ist für s > 1 bekanntlich konvergent. Sie dürfen außerdem verwenden,
dass die Funktion f(x) = [mm] x^{s} [/mm] stetig ist.
3. Folgt aus L = 0, ak [mm] \not= [/mm] 0 für alle k und der Konvergenz von [mm] \summe_{k=1}^{\infty} [/mm] ak die Divergenz der Reihe [mm] \summe_{k=1}^{\infty} [/mm] bk? |
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Hallo,
ich stehe auf dem Schlauch. Könntet ihr mir vielleicht Tipps geben, wie ich anfangen könnte? Ich weiß, dass ich bei 1. das Quotientenkriterium und das Minoranten/ Majorantenkriterium anwenden muss, um das zu zeigen, aber wie? Ich habe keine Ahnung.
Danke für eure Hilfe =)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:37 Mo 05.12.2011 | | Autor: | fred97 |
Zu 1)
Aus $L = [mm] \limes_{k\rightarrow\infty} |\bruch{a_k}{b_k} [/mm] |>0$ folgt: es gibt ein N [mm] \in \IN [/mm] mit:
[mm] \bruch{L}{2} \le \bruch{|a_k|}{|b_k|} \le \bruch{3L}{2} [/mm] für k >N.
Also:
(*) [mm] \bruch{L}{2}|b_k| \le |a_k| \le \bruch{3L}{2}|b_k| [/mm] für k >N.
Hilft das ?
FRED
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