Konvergenz < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
Hallo,
ich wollte mit Eurer Hilfe einige Fragen klären.
Und zwar geht es sich um Aussagen zur Konvergenz..
Ist [mm] a_n [/mm] konvergent, so ist auch [mm] \summe_{n=1}^{ \infty}a_n [/mm] konvergent.
Also meines Erachtens ist diese Aussage falsch, z.B. wg der Harmonischen Reihe [mm] \summe_{n=1}^{ \infty} \bruch{1}{n}.
[/mm]
Sehe ich das richtig?
Ist [mm] a_n [/mm] eine Nullfolge, so ist [mm] a_n [/mm] monoton fallend.
Diese Aussage ist doch auch falsch, weil [mm] a_n+1 \ge a_n [/mm] ist? Oder?
Danke
|
|
| |
|
Hallo Fruchtsaft!
> Ist [mm]a_n[/mm] konvergent, so ist auch [mm]\summe_{n=1}^{ \infty}a_n[/mm] konvergent.
>
> Also meines Erachtens ist diese Aussage falsch, z.B. wg der
> Harmonischen Reihe [mm]\summe_{n=1}^{ \infty} \bruch{1}{n}.[/mm]
>
> Sehe ich das richtig?
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]") Ganz genau! Für die Konvergenz der Reihe [mm]\summe_{n=1}^{\infty}a_n[/mm] ist ein notwendiges Kriterium (kein hinreichendes!), daß [mm] $a_n$ [/mm] eine Nullfolge ist: [mm] $\limes_{n\rightarrow\infty}a_n [/mm] \ = \ 0$.
"Konvergenz von [mm] $a_n$" [/mm] kann aber auch andere Grenzwert beinhalten:
[mm] $a_n$ [/mm] konvergent : [mm] $\limes_{n\rightarrow\infty}a_n [/mm] \ = \ a$ mit [mm] $\left|a\right| [/mm] \ < \ [mm] \infty$
[/mm]
Dabei kann ja nun auch gelten: [mm] $\limes_{n\rightarrow\infty}a_n [/mm] \ = \ a \ [mm] \not= [/mm] \ 0$
Damit ist das o.g. notwendige Kriterium nicht zwangsläufig erfüllt.
> Ist [mm]a_n[/mm] eine Nullfolge, so ist [mm]a_n[/mm] monoton fallend.
> Diese Aussage ist doch auch falsch, weil [mm]a_n+1 \ge a_n[/mm]
> ist?
Deine Einschätzung ist richtig (die Aussage ist falsch), aber die Begründung stimmt nicht.
Du brauchst ja nur ein Gegenbeispiel liefern, um o.g. Beahuptung zu widerlegen.
Zum Beispiel [mm] $a_n [/mm] \ := \ - [mm] \bruch{1}{n}$ [/mm] ist eine Nullfolge, aber nicht monoton fallend!
Gruß vom
Roadrunner
|
|
|
| |
|
Danke für die schnelle Antwort. Ok, das ist klar.
Meine 1.Aussage umgekehrt, also ist [mm] \summe_{n=1}^{ \infty}a_n, [/mm] so ist auch [mm] a_n [/mm] konvergent, scheidet mit derselben Begründung als falsch aus, oder?
Oder eine weitere Aussage. Ist [mm] a_n [/mm] konvergent, so auch der Betrag [mm] |a_n|.
[/mm]
Hier würde ich sagen die Antwort ist korrekt.
Danke
Gruss
Fruchtsaft
|
|
|
| |
|
Hallo Fruchtsaft!
> Danke für die schnelle Antwort.
Gern geschehen ...
> Meine 1. Aussage umgekehrt, also ist [mm]\summe_{n=1}^{ \infty}a_n[/mm] konvergent,
> so ist auch [mm]a_n[/mm] konvergent, scheidet mit derselben
> Begründung als falsch aus, oder?
Aus der Konvergenz der Reihe [mm]\summe_{n=1}^{ \infty}a_n[/mm] folgt aber unmittelbar die Konvergenz der Folge [mm] $a_n$. [/mm] Du kannst sogar den Grenzwert (als Umkehrung des notwendigen Kriteriums): [mm] $\limes_{n\rightarrow\infty}a_n [/mm] \ = \ [mm] \red{0}$ [/mm] !!
> Oder eine weitere Aussage. Ist [mm]a_n[/mm] konvergent, so auch der
> Betrag [mm]|a_n|.[/mm]
> Hier würde ich sagen die Antwort ist korrekt.
Bei Folgen ist das richtig.
![[aufgemerkt]](/images/smileys/aufgemerkt.gif "[aufgemerkt]") Bei Reihen gilt das nicht allgemein!
Gegenbeispiel: [mm] $\summe_{k=1}^{\infty}(-1)^k*\bruch{1}{k}$
[/mm]
Gruß vom
Roadrunner
|
|
|
|
