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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:31 Fr 29.07.2005 | | Autor: | Bastiane |
Hallo!
Hier noch eine Aufgabe zur Konvergenz:
Man beweise: Jede Folge reeller Zahlen enthält eine monotone (wachsende oder fallende Teilfolge).
Beweis:
Ist die Folge [mm] a_n [/mm] monoton, so ist sie eine monotone Teilfolge. Sei also [mm] a_n [/mm] nicht monoton und [mm] a_0=c. [/mm] Konstruiere eine monoton wachsende Folge [mm] a_{n_k} [/mm] folgendermaßen:
falls [mm] a_1>a_0, [/mm] dann [mm] a_{n_1}:=a_1
[/mm]
falls [mm] a_1a_0 [/mm] dann [mm] a_{n_1}:=a_2, [/mm] ansonsten falls [mm] a_3>0 [/mm] dann [mm] a_{n_1}:=a_3 [/mm] usw.
und im ersten Fall dann weiter:
falls [mm] a_2>a_1, [/mm] dann [mm] a_{n_2}:=a_2 [/mm] usw.
Kann man verstehen, was ich meine? Ist das so korrekt? Scheint mir fast mal wieder zu einfach...
Und vor allem: was mache ich mit einer fallenden Teilfolge? Würde aus meinem Beweis nicht folgen, dass es sowohl eine wachsende als auch eine fallende monotone Folge gibt?
Viele Grüße
Bastiane
![[banane]](/images/smileys/banane.gif "[banane]")
P.S.: Ach ja, da hier nicht von strenger Monotonie die Rede war, müsste statt jedem < bzw. > ein [mm] \le [/mm] bzw. [mm] \ge [/mm] stehen.
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Hallo Bastiane,
Hier ist es hilfreich, streng formal vorzugehen. Die Aussage, die zu beweisen ist, lautet formal:
[mm] $\forall [/mm] a [mm] \mbox{ Folge } (\forall [/mm] n [mm] \exists [/mm] m [mm] \ge [/mm] n [mm] \mbox{ so, dass } a_m \ge a_n \wedge \forall [/mm] n [mm] \exists [/mm] m [mm] \ge [/mm] n [mm] \mbox{ so, dass } a_m \le a_n)$
[/mm]
Das Gegenteil dieser Aussgage lautet
[mm] $\exists [/mm] a [mm] \mbox{ Folge } (\exists [/mm] n [mm] \forall [/mm] m [mm] \ge [/mm] n [mm] \mbox{ so, dass } a_m [/mm] < [mm] a_n \vee \exists [/mm] n [mm] \forall [/mm] m [mm] \ge [/mm] n [mm] \mbox{ so, dass } a_m [/mm] > [mm] a_n)$
[/mm]
Ein offensichtlicher Widerspruch, da für "große" m [mm] a_m [/mm] sowohl echt kleiner, als auch echt größer als ein [mm] a_n [/mm] sein muss.
Die analoge Aussage für strenge Monotonie gilt natürlich nicht, da eine beliebige Folge auch konstant sein kann.
Liebe Grüße,
Holy Diver
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