Konvergenz < stoch. Analysis < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:43 Sa 14.05.2011 | | Autor: | wieschoo |
| Aufgabe | [mm](\Omega , \mathcal{A} , \mu)[/mm] sei ein Maßraum mit [mm]\mu ( \Omega)<\infty[/mm]. Sei [mm]f_n[/mm] ein Folge nichtnegativer, reeller und messbarer Funktionen, wobei [mm]f_n[/mm] glm. gegen f konvergiert. Zeige
[mm]\int_\Omega f_n d\mu \xrightarrow{n\to \infty} \int_\Omega f d\mu[/mm] |
Meine Idee ist:
[mm] $f_n$ [/mm] konvergiert gleichmäßig gegen f, d.h.
[mm] $\forall \varepsilon [/mm] > 0 [mm] \exists N\in\IN \forall n\geq [/mm] N [mm] \forall [/mm] x: [mm] |f_n-f|<\varepsilon$
[/mm]
Nun war aber doch
[mm] $\left | |f_n|-|f| \right |<|f_n-f|<\varepsilon$
[/mm]
Bekomm ich damit eine Majorante?
Mein Ziel ist die Anwendung von "Satz von Lebesgue über majorisierte Konvergenz"
Ist die Idee richtig?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:10 Sa 14.05.2011 | | Autor: | fred97 |
Du hast es doch fast ! Gib [mm] \varepsilon [/mm] >0 vor. Dann ex. ein N [mm] \in \IN [/mm] mit
[mm] $|f_n-f| [/mm] < [mm] \varepsilon$ [/mm] auf ganz [mm] \Omega [/mm] für n >N
Für n>N ist dann:
$ [mm] |\int_\Omega f_n d\mu- \int_\Omega [/mm] f [mm] d\mu| \le \int_\Omega |f_n-f| d\mu \le \varepsilon [/mm] * [mm] \mu(\Omega)$
[/mm]
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:18 Sa 14.05.2011 | | Autor: | wieschoo |
danke dir
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