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| Aufgabe | Gegeben seien Zufallsvariable [mm]X_n \sim Bin(n, p_n)[/mm] auf einem diskreten Wahrscheinlichkeitsraum [mm](\Omega,A, P)[/mm].
(i) Falls [mm]np_n = \lambda > 0 \forall n[/mm], wogegen konvergiert dann [mm]P(\{\omega : X_n(\omega) = k\})[/mm]?
(ii) Falls [mm]p_n = p \in (0, 1) \forall n[/mm], wogegen konvergiert dann [mm]P(\{\omega : \frac{X_n(\omega) - E[X_n]} {\sqrt{n}} \leq x\})[/mm]?
(Nutzen Sie, dass [mm] $X_n$ [/mm] dieselbe Verteilung besitzt wie [mm]Y_1 + \ldots + Y_n[/mm], wobei [mm]Y_i \sim Bin(1, p)[/mm] unabhängige Zufallsvariable sind.) |
zur (i) Ich habe ja die Verteilungsfunktion [mm]F_X(x)=P(X_n(t)\leqx)=\sum_{k=0}^{x} {{n \choose k}}p^k(1-p)^{n-k}[/mm]. Kurz ich habe überhaupt keinen Plan. Ich habe folgende Konvergenzarten zur Auswahl:
* p-stochastisch
* fast sicher
* in Verteilung
* schwach
Welche nehme ich? Da fängt es schon an. Sollte ich die in Verteilung nehmen?
zu (ii) Das sieht für mich ein bisschen nach Zentralen Grenzwertsatz aus. Doch mehr kann ich da auch nicht ablesen.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:15 Do 30.12.2010 | | Autor: | luis52 |
> Kurz ich habe überhaupt keinen Plan. Ich habe folgende
> Konvergenzarten zur Auswahl:
> * p-stochastisch
> * fast sicher
> * in Verteilung
> * schwach
Moin,
eine hast du vergessen, und um die geht es:
Setze in (a) [mm] $a_n=P(\{\omega : X_n(\omega) = k\}) [/mm] $. Beweise die
Konvergenz von [mm] $(a_n)$ [/mm] gegen einen Grenzwert im
Sinne der Analysis.
Verfahre genauso in (b).
vg Luis
PS: Moechte nicht ausschliessen, dass diese Konvergenz zu einer der von dir genannten aequivalent ist, aber das uebersehe ich gerade nicht.
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