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| Aufgabe | Untersuchen sie folgende Folgen auf Konvergenz und bestimmen sie ggf. den GW.
d) [mm] d_{n}= \bruch{(n+1)!}{2^n}
[/mm]
e) [mm] (x_{n}) [/mm] mit [mm] x_{1}=1 [/mm] und [mm] x_{n+1}= \wurzel{1+x_{n}}.
[/mm]
Hinweis: Es darf verwendet werden, dass für eine konvergente Folge [mm] (x_{n}) [/mm] gilt:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \wurzel{1+x_{n}}= \wurzel{1+\limes_{n\rightarrow\infty} x_{n}} [/mm] |
zu d) habe ich mir überlegt, dass das ganze nach oben nicht beschränkt ist, weil sich der Nenner ja kürzen lässt. Denn jede zweite Zahl im Zähler ist gerade und jede vierte ist sogar eine Potenz von zwei. Nur habe ich keine Idee, wie ich das ganze zeigen kann.
Über Hinweise würde ich mich freuen.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo BigHead,
> Untersuchen sie folgende Folgen auf Konvergenz und
> bestimmen sie ggf. den GW.
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> d) [mm]d_{n}= \bruch{(n+1)!}{2^n}[/mm]
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> e) [mm](x_{n})[/mm] mit [mm]x_{1}=1[/mm] und [mm]x_{n+1}= \wurzel{1+x_{n}}.[/mm]
>
> Hinweis: Es darf verwendet werden, dass für eine
> konvergente Folge [mm](x_{n})[/mm] gilt:
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \wurzel{1+x_{n}}= \wurzel{1+\limes_{n\rightarrow\infty} x_{n}}[/mm]
>
> zu d) habe ich mir überlegt, dass das ganze nach oben
> nicht beschränkt ist, weil sich der Nenner ja kürzen
> lässt.
Na, für n=2 und n=5 geht das z.B. nicht.
> Denn jede zweite Zahl im Zähler ist gerade und
> jede vierte ist sogar eine Potenz von zwei.
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Vielleicht nur unsauber formuliert. Aber dass 12 eine Potenz von 2 ist, würde ich doch bestreiten wollen.
> Nur habe ich
> keine Idee, wie ich das ganze zeigen kann.
> Über Hinweise würde ich mich freuen.
Darfst Du die ![[]](/images/popup.gif) Stirling-Formel verwenden? Dann wäre es ganz einfach.
Ansonsten bist Du mit dem vollständigen Kürzen aber auf der falschen Spur. Deine Behauptung gilt nur für [mm] n=2^k-1 [/mm] und sonst nie.
Nur: warum muss man überhaupt vollständig kürzen?
Du kannst doch Zähler und Nenner auch sonst in Faktoren auseinanderziehen. Wenn Du das dann geschickt in n Brüche aufteilst, kannst Du leicht eine Aussage treffen.
lg
reverend
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Ich habe das ganze jetzt mehrfach in Brüche zerlegt, kann aber noch nichts erkennen. Man könnte jeden ungeraden Zähler in ein Vielfaches von zwei zerlegen +1 Rest, aber bringt mir auch nicht viel. Ich komme vom Gedanken "kürzen" einfach nicht weg. Da bräuchte ich wohl noch hetwas anschub.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:08 So 21.11.2010 | | Autor: | Marc |
Hallo,
> Ich habe das ganze jetzt mehrfach in Brüche zerlegt, kann
> aber noch nichts erkennen. Man könnte jeden ungeraden
> Zähler in ein Vielfaches von zwei zerlegen +1 Rest, aber
> bringt mir auch nicht viel. Ich komme vom Gedanken
> "kürzen" einfach nicht weg. Da bräuchte ich wohl noch
> hetwas anschub.
[mm] $\frac{(n+1)!}{2^n}=\frac{\overbrace{(n+1)*n*(n-1)*\ldots*3*2*1}^{n+1\text{ Faktoren}}}{\underbrace{2*\ldots*2}_{n\text{ Faktoren}}}=\underbrace{\frac{n+1}{2}*\frac{n}{2}*\ldots*\frac{3}{2}*\frac{2}{2}*\frac{1}{1}}_{n+1\text{ Faktoren}}$
[/mm]
Und jetzt schaue dir die Größe der Brüche (bis auf die letzten zwei) an, die sind alle größer als ... und damit ist [mm] $\frac{(n+1)!}{2^n}\ge \left(\ldots\right)^{n-1}$
[/mm]
Viele Grüße,
Marc
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:31 Sa 20.11.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo Big_Head!
Die rekursive Folge Deiner Teilaufgabe e.) wurde bereits ausführlich(st) diskutiert.
Gruß
Loddar
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