Konvergenz < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Gegeben ist die Funktionsfolge: [mm] f_{n}=\begin{cases} 2n^{3}x \\ -2n^{3}x+2n^{2} \\ 0 \end{cases}
[/mm]
ii) Berechnen Sie den punktweisen Grenzwert f(x) := [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} f_{n}(x) [/mm] .
Kovergiert die Funktionsfolge [mm] (f_{n})_n \in \IN [/mm] gleichmäßig?
Intervall I=[0 , 1] |
Hallo,
ich habe folgendes gemacht:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}(2n^{3}x)=0 [/mm] , x=0
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}(-2n^{3}x+2n^{2})= \infty [/mm] , x=0
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}(0)=0 [/mm] , x=0
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}(2n^{3}x)= \infty [/mm] , [mm] x\le1
[/mm]
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}(-2n^{3}x+2n^{2})= -\infty [/mm] , [mm] x\le1
[/mm]
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}(0)=0 [/mm] , [mm] x\le1
[/mm]
Daraus stellt sich heraus, dass der Grenzwert unterschiedlich ist, d.h. nicht gleichmäßig ist.
Korrekt?
thx.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:17 Do 19.08.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo monstre!
Es wäre praktisch, wenn Du uns auch die jeweiligen Intervalle der einzelnen Funktionsäste verraten würdest.
Gruß
Loddar
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:03 Fr 20.08.2010 | | Autor: | monstre123 |
hier die übung: http://yfrog.com/61uebung011j --> ii)
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:37 Fr 20.08.2010 | | Autor: | fred97 |
> Gegeben ist die Funktionsfolge: [mm]f_{n}=\begin{cases} 2n^{3}x \\ -2n^{3}x+2n^{2} \\ 0 \end{cases}[/mm]
>
> ii) Berechnen Sie den punktweisen Grenzwert f(x) :=
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} f_{n}(x)[/mm] .
>
> Kovergiert die Funktionsfolge [mm](f_{n})_n \in \IN[/mm]
> gleichmäßig?
>
> Intervall I=[0 , 1]
> Hallo,
>
> ich habe folgendes gemacht:
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}(2n^{3}x)=0[/mm] , x=0
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}(-2n^{3}x+2n^{2})= \infty[/mm] ,
> x=0
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}(0)=0[/mm] , x=0
>
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}(2n^{3}x)= \infty[/mm] , [mm]x\le1[/mm]
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}(-2n^{3}x+2n^{2})= -\infty[/mm] ,
> [mm]x\le1[/mm]
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}(0)=0[/mm] , [mm]x\le1[/mm]
>
>
> Daraus stellt sich heraus, dass der Grenzwert
> unterschiedlich ist, d.h. nicht gleichmäßig ist.
>
> Korrekt?
Nachdem jetzt klar ist, wie [mm] f_n [/mm] ausschaut: Nein , das stimmt hinten und vorne nicht !
Darüberhinaus habe ich den Eindruck, dass Dir überhaupt nicht klar ist , was punktweise Konvergenz bedeutet.
Klar ist: [mm] f_n(0) [/mm] = 0 für jedes n.
Sei x>0 und [mm] \le [/mm] 1. Dann ex. ein N [mm] \in \IN [/mm] mit: x>1/n für jedes n>N.
Dann ist [mm] f_n(x) [/mm] = 0 für jedes n>N.
Somit ist f(x) := $ [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} f_{n}(x) [/mm] $ die Funktion konstant =0 auf [0,1]
Zur glm. Konvergenz:
es ist [mm] $|f_n(1/2n)-f(1/2n)|= n^2$
[/mm]
Was folgt daraus ?
FRED
>
>
> thx.
>
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> > Gegeben ist die Funktionsfolge: [mm]f_{n}=\begin{cases} 2n^{3}x \\ -2n^{3}x+2n^{2} \\ 0 \end{cases}[/mm]
>
> >
> > ii) Berechnen Sie den punktweisen Grenzwert f(x) :=
> > [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} f_{n}(x)[/mm] .
> >
> > Kovergiert die Funktionsfolge [mm](f_{n})_n \in \IN[/mm]
> > gleichmäßig?
> >
> > Intervall I=[0 , 1]
> > Hallo,
> >
> > ich habe folgendes gemacht:
> >
> > [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}(2n^{3}x)=0[/mm] , x=0
> >
> > [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}(-2n^{3}x+2n^{2})= \infty[/mm] ,
> > x=0
> >
> > [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}(0)=0[/mm] , x=0
> >
> >
> > [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}(2n^{3}x)= \infty[/mm] , [mm]x\le1[/mm]
> >
> > [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}(-2n^{3}x+2n^{2})= -\infty[/mm] ,
> > [mm]x\le1[/mm]
> >
> > [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}(0)=0[/mm] , [mm]x\le1[/mm]
> >
> >
> > Daraus stellt sich heraus, dass der Grenzwert
> > unterschiedlich ist, d.h. nicht gleichmäßig ist.
> >
> > Korrekt?
>
> Nachdem jetzt klar ist, wie [mm]f_n[/mm] ausschaut: Nein , das
> stimmt hinten und vorne nicht !
>
> Darüberhinaus habe ich den Eindruck, dass Dir überhaupt
> nicht klar ist , was punktweise Konvergenz bedeutet.
>
> Klar ist: [mm]f_n(0)[/mm] = 0 für jedes n.
Wieso klar? Wir haben doch [mm] f_{n}=\begin{cases} 2n^{3}x \\ -2n^{3}x+2n^{2} \\ 0 \end{cases} [/mm] drei Fälle; wenn ich jetzt den 2.Fall betrachte [mm] f_{n}=-2n^{3}x+2n^{2} [/mm] dann kann ich doch für x=0 setzen, doch der 2.Summand strebt mit n [mm] \to \infty [/mm] an, d.h. das wäre für den 2.Fall [mm] f_{n}(0)= \infty [/mm]
>
> Sei x>0 und [mm]\le[/mm] 1. Dann ex. ein N [mm]\in \IN[/mm] mit: x>1/n für
> jedes n>N.
>
> Dann ist [mm]f_n(x)[/mm] = 0 für jedes n>N.
>
> Somit ist f(x) := [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} f_{n}(x)[/mm] die
> Funktion konstant =0 auf [0,1]
>
> Zur glm. Konvergenz:
>
> es ist [mm]|f_n(1/2n)-f(1/2n)|= n^2[/mm]
>
> Was folgt daraus ?
>
> FRED
> >
> >
> > thx.
> >
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:05 Fr 20.08.2010 | | Autor: | fred97 |
> > > Gegeben ist die Funktionsfolge: [mm]f_{n}=\begin{cases} 2n^{3}x \\ -2n^{3}x+2n^{2} \\ 0 \end{cases}[/mm]
>
> >
> > >
> > > ii) Berechnen Sie den punktweisen Grenzwert f(x) :=
> > > [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} f_{n}(x)[/mm] .
> > >
> > > Kovergiert die Funktionsfolge [mm](f_{n})_n \in \IN[/mm]
> > > gleichmäßig?
> > >
> > > Intervall I=[0 , 1]
> > > Hallo,
> > >
> > > ich habe folgendes gemacht:
> > >
> > > [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}(2n^{3}x)=0[/mm] , x=0
> > >
> > > [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}(-2n^{3}x+2n^{2})= \infty[/mm] ,
> > > x=0
> > >
> > > [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}(0)=0[/mm] , x=0
> > >
> > >
> > > [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}(2n^{3}x)= \infty[/mm] , [mm]x\le1[/mm]
> > >
> > > [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}(-2n^{3}x+2n^{2})= -\infty[/mm] ,
> > > [mm]x\le1[/mm]
> > >
> > > [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}(0)=0[/mm] , [mm]x\le1[/mm]
> > >
> > >
> > > Daraus stellt sich heraus, dass der Grenzwert
> > > unterschiedlich ist, d.h. nicht gleichmäßig ist.
> > >
> > > Korrekt?
> >
> > Nachdem jetzt klar ist, wie [mm]f_n[/mm] ausschaut: Nein , das
> > stimmt hinten und vorne nicht !
> >
> > Darüberhinaus habe ich den Eindruck, dass Dir überhaupt
> > nicht klar ist , was punktweise Konvergenz bedeutet.
> >
> > Klar ist: [mm]f_n(0)[/mm] = 0 für jedes n.
>
> Wieso klar? Wir haben doch [mm]f_{n}=\begin{cases} 2n^{3}x \\ -2n^{3}x+2n^{2} \\ 0 \end{cases}[/mm]
> drei Fälle; wenn ich jetzt den 2.Fall betrachte
> [mm]f_{n}=-2n^{3}x+2n^{2}[/mm] dann kann ich doch für x=0 setzen,
> doch der 2.Summand strebt mit n [mm]\to \infty[/mm] an, d.h. das
> wäre für den 2.Fall [mm]f_{n}(0)= \infty[/mm]
Mann, mann das ist mühsam. Dir scheint nicht klar zu sein, wie [mm] f_n [/mm] def. ist:
Wir haben:
[mm] $f_n(x) [/mm] = 2n^3x$, falls $0 [mm] \le [/mm] x [mm] \le [/mm] 1/2n$,
[mm] $f_n(x) [/mm] = [mm] -2n^3x+2n^2$, [/mm] falls $1/2n [mm] \le [/mm] x [mm] \le [/mm] 1/n$
[mm] $f_n(x) [/mm] = 0$, falls $1/n [mm] \le [/mm] x [mm] \le [/mm] 0$
FRED
>
> >
> > Sei x>0 und [mm]\le[/mm] 1. Dann ex. ein N [mm]\in \IN[/mm] mit: x>1/n für
> > jedes n>N.
> >
> > Dann ist [mm]f_n(x)[/mm] = 0 für jedes n>N.
> >
> > Somit ist f(x) := [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} f_{n}(x)[/mm] die
> > Funktion konstant =0 auf [0,1]
> >
> > Zur glm. Konvergenz:
> >
> > es ist [mm]|f_n(1/2n)-f(1/2n)|= n^2[/mm]
> >
> > Was folgt daraus ?
> >
> > FRED
> > >
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> > > thx.
> > >
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> > > > Gegeben ist die Funktionsfolge: [mm]f_{n}=\begin{cases} 2n^{3}x \\ -2n^{3}x+2n^{2} \\ 0 \end{cases}[/mm]
>
> >
> > > Klar ist: [mm]f_n(0)[/mm] = 0 für jedes n.
> >
> > Wieso klar? Wir haben doch [mm]f_{n}=\begin{cases} 2n^{3}x \\ -2n^{3}x+2n^{2} \\ 0 \end{cases}[/mm]
>
> > drei Fälle; wenn ich jetzt den 2.Fall betrachte
> > [mm]f_{n}=-2n^{3}x+2n^{2}[/mm] dann kann ich doch für x=0
> setzen,
> > doch der 2.Summand strebt mit n [mm]\to \infty[/mm] an, d.h. das
> > wäre für den 2.Fall [mm]f_{n}(0)= \infty[/mm]
>
>
> Mann, mann das ist mühsam. Dir scheint nicht klar zu sein,
> wie [mm]f_n[/mm] def. ist:
>
>
>
>
> Wir haben:
>
> [mm]f_n(x) = 2n^3x[/mm], falls [mm]0 \le x \le 1/2n[/mm],
>
> [mm]f_n(x) = -2n^3x+2n^2[/mm], falls [mm]1/2n \le x \le 1/n[/mm]
>
> [mm]f_n(x) = 0[/mm], falls [mm]1/n \le x \le 0[/mm]
[mm] f_{n}(x)=0 [/mm] , falls 1/n [mm] \le [/mm] x [mm] \le [/mm] 1 bis 1 meinst du oder?
>
> FRED
> >
> > >
> > > Sei x>0 und [mm]\le[/mm] 1. Dann ex. ein N [mm]\in \IN[/mm] mit: x>1/n für
> > > jedes n>N.
> > >
> > > Dann ist [mm]f_n(x)[/mm] = 0 für jedes n>N.
> > >
> > > Somit ist f(x) := [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} f_{n}(x)[/mm] die
> > > Funktion konstant =0 auf [0,1]
> > >
> > > Zur glm. Konvergenz:
> > >
> > > es ist [mm]|f_n(1/2n)-f(1/2n)|= n^2[/mm]
Für welches Intervall ist jetzt [mm] f_{n}(1/2n) [/mm] gemeint????
> > >
> > > Was folgt daraus ?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:39 Fr 20.08.2010 | | Autor: | fred97 |
> > > > > Gegeben ist die Funktionsfolge: [mm]f_{n}=\begin{cases} 2n^{3}x \\ -2n^{3}x+2n^{2} \\ 0 \end{cases}[/mm]
>
> >
> > >
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> > > > Klar ist: [mm]f_n(0)[/mm] = 0 für jedes n.
> > >
> > > Wieso klar? Wir haben doch [mm]f_{n}=\begin{cases} 2n^{3}x \\ -2n^{3}x+2n^{2} \\ 0 \end{cases}[/mm]
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> >
> > > drei Fälle; wenn ich jetzt den 2.Fall betrachte
> > > [mm]f_{n}=-2n^{3}x+2n^{2}[/mm] dann kann ich doch für x=0
> > setzen,
> > > doch der 2.Summand strebt mit n [mm]\to \infty[/mm] an, d.h.
> das
> > > wäre für den 2.Fall [mm]f_{n}(0)= \infty[/mm]
> >
> >
> > Mann, mann das ist mühsam. Dir scheint nicht klar zu sein,
> > wie [mm]f_n[/mm] def. ist:
> >
> >
> >
> >
> > Wir haben:
> >
> > [mm]f_n(x) = 2n^3x[/mm], falls [mm]0 \le x \le 1/2n[/mm],
> >
> > [mm]f_n(x) = -2n^3x+2n^2[/mm], falls [mm]1/2n \le x \le 1/n[/mm]
> >
> > [mm]f_n(x) = 0[/mm], falls [mm]1/n \le x \le 0[/mm]
>
>
>
> [mm]f_{n}(x)=0[/mm] , falls 1/n [mm]\le[/mm] x [mm]\le[/mm] 1 bis 1 meinst du oder?
Ja, da hab ich mich vertippt
>
>
>
> >
> > FRED
> > >
> > > >
> > > > Sei x>0 und [mm]\le[/mm] 1. Dann ex. ein N [mm]\in \IN[/mm] mit: x>1/n für
> > > > jedes n>N.
> > > >
> > > > Dann ist [mm]f_n(x)[/mm] = 0 für jedes n>N.
> > > >
> > > > Somit ist f(x) := [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} f_{n}(x)[/mm] die
> > > > Funktion konstant =0 auf [0,1]
> > > >
> > > > Zur glm. Konvergenz:
> > > >
> > > > es ist [mm]|f_n(1/2n)-f(1/2n)|= n^2[/mm]
>
> Für welches Intervall ist jetzt [mm]f_{n}(1/2n)[/mm] gemeint????
??????????????????????????????
Wie ist [mm] f_n [/mm] an der Stelle x=1/2n definiert ???????
FRED
>
> > > >
> > > > Was folgt daraus ?
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> > > > > > Gegeben ist die Funktionsfolge: [mm]f_{n}=\begin{cases} 2n^{3}x \\ -2n^{3}x+2n^{2} \\ 0 \end{cases}[/mm]
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> > >
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> > > > > Klar ist: [mm]f_n(0)[/mm] = 0 für jedes n.
> > > >
> > > > Wieso klar? Wir haben doch [mm]f_{n}=\begin{cases} 2n^{3}x \\ -2n^{3}x+2n^{2} \\ 0 \end{cases}[/mm]
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> > >
> > > > drei Fälle; wenn ich jetzt den 2.Fall betrachte
> > > > [mm]f_{n}=-2n^{3}x+2n^{2}[/mm] dann kann ich doch für x=0
> > > setzen,
> > > > doch der 2.Summand strebt mit n [mm]\to \infty[/mm] an,
> d.h.
> > das
> > > > wäre für den 2.Fall [mm]f_{n}(0)= \infty[/mm]
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> > > Mann, mann das ist mühsam. Dir scheint nicht klar zu sein,
> > > wie [mm]f_n[/mm] def. ist:
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> > >
> > > Wir haben:
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> > > [mm]f_n(x) = 2n^3x[/mm], falls [mm]0 \le x \le 1/2n[/mm],
> > >
> > > [mm]f_n(x) = -2n^3x+2n^2[/mm], falls [mm]1/2n \le x \le 1/n[/mm]
> > >
> > > [mm]f_n(x) = 0[/mm], falls [mm]1/n \le x \le 0[/mm]
> >
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> >
> > [mm]f_{n}(x)=0[/mm] , falls 1/n [mm]\le[/mm] x [mm]\le[/mm] 1 bis 1 meinst du oder?
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> Ja, da hab ich mich vertippt
> >
> >
> >
> > >
> > > FRED
> > > >
> > > > >
> > > > > Sei x>0 und [mm]\le[/mm] 1. Dann ex. ein N [mm]\in \IN[/mm] mit: x>1/n für
> > > > > jedes n>N.
> > > > >
> > > > > Dann ist [mm]f_n(x)[/mm] = 0 für jedes n>N.
> > > > >
> > > > > Somit ist f(x) := [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} f_{n}(x)[/mm] die
> > > > > Funktion konstant =0 auf [0,1]
> > > > >
> > > > > Zur glm. Konvergenz:
> > > > >
> > > > > es ist [mm]|f_n(1/2n)-f(1/2n)|= n^2[/mm]
> >
> > Für welches Intervall ist jetzt [mm]f_{n}(1/2n)[/mm] gemeint????
>
>
> ??????????????????????????????
>
> Wie ist [mm]f_n[/mm] an der Stelle x=1/2n definiert ???????
>
Okay, es [mm] n^{2} [/mm] ,aber warum nimmst du gerade 1/2n und nicht 1/n oder 0 ???
>
> FRED
> >
> > > > >
> > > > > Was folgt daraus ?
>
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:53 Fr 20.08.2010 | | Autor: | fred97 |
> > > > > > > Gegeben ist die Funktionsfolge: [mm]f_{n}=\begin{cases} 2n^{3}x \\ -2n^{3}x+2n^{2} \\ 0 \end{cases}[/mm]
>
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> > >
> > > > > > Klar ist: [mm]f_n(0)[/mm] = 0 für jedes n.
> > > > >
> > > > > Wieso klar? Wir haben doch [mm]f_{n}=\begin{cases} 2n^{3}x \\ -2n^{3}x+2n^{2} \\ 0 \end{cases}[/mm]
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> > >
> > > >
> > > > > drei Fälle; wenn ich jetzt den 2.Fall betrachte
> > > > > [mm]f_{n}=-2n^{3}x+2n^{2}[/mm] dann kann ich doch für
> x=0
> > > > setzen,
> > > > > doch der 2.Summand strebt mit n [mm]\to \infty[/mm] an,
> > d.h.
> > > das
> > > > > wäre für den 2.Fall [mm]f_{n}(0)= \infty[/mm]
> > > >
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> > > >
> > > > Mann, mann das ist mühsam. Dir scheint nicht klar zu sein,
> > > > wie [mm]f_n[/mm] def. ist:
> > > >
> > > >
> > > >
> > > >
> > > > Wir haben:
> > > >
> > > > [mm]f_n(x) = 2n^3x[/mm], falls [mm]0 \le x \le 1/2n[/mm],
> > > >
> > > > [mm]f_n(x) = -2n^3x+2n^2[/mm], falls [mm]1/2n \le x \le 1/n[/mm]
> > >
> >
> > > > [mm]f_n(x) = 0[/mm], falls [mm]1/n \le x \le 0[/mm]
> > >
> > >
> > >
> > > [mm]f_{n}(x)=0[/mm] , falls 1/n [mm]\le[/mm] x [mm]\le[/mm] 1 bis 1 meinst du oder?
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> > Ja, da hab ich mich vertippt
> > >
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> > > >
> > > > FRED
> > > > >
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> > > > > > Sei x>0 und [mm]\le[/mm] 1. Dann ex. ein N [mm]\in \IN[/mm] mit: x>1/n für
> > > > > > jedes n>N.
> > > > > >
> > > > > > Dann ist [mm]f_n(x)[/mm] = 0 für jedes n>N.
> > > > > >
> > > > > > Somit ist f(x) := [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} f_{n}(x)[/mm] die
> > > > > > Funktion konstant =0 auf [0,1]
> > > > > >
> > > > > > Zur glm. Konvergenz:
> > > > > >
> > > > > > es ist [mm]|f_n(1/2n)-f(1/2n)|= n^2[/mm]
> > >
> > > Für welches Intervall ist jetzt [mm]f_{n}(1/2n)[/mm] gemeint????
> >
> >
> > ??????????????????????????????
> >
> > Wie ist [mm]f_n[/mm] an der Stelle x=1/2n definiert ???????
> >
>
> Okay, es [mm]n^{2}[/mm] ,aber warum nimmst du gerade 1/2n und nicht
> 1/n oder 0 ???
Was bedeutet denn gleíchmäßige Konvergenz ????
Wenn man 1/2n nimmt, so sieht man: es ist nix mit glm. Konvergenz (wenn man weiß was das bedeutet)
Wenn man 1/n oder 0 nimmt sieht man gar nix,
FRED
>
> >
> > FRED
> > >
> > > > > >
> > > > > > Was folgt daraus ?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:15 Fr 20.08.2010 | | Autor: | monstre123 |
hab's, glaube ich, entgültig gecheckt. mache noch ein paar übungen^^
Danke nochmal an FRED.
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